Номер 7.21, страница 40 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.21, страница 40.

Условие.

7.21**. Найдите период $\text{T}$ малых колебаний изображенного на рисунке маятника — невесомого стержня с двумя маленькими шариками.

К задаче 7.21

Решение.

Решение 2.

Дано:

Массы шариков: $m_1$, $m_2$

Расстояния от точки подвеса до шариков: $l_1$, $l_2$

Стержень невесомый.

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Период малых колебаний $\text{T}$

Решение:

Рассматриваемый маятник является физическим маятником, так как это твёрдое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной оси, не проходящей через его центр масс. Период малых колебаний физического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}$

где $\text{I}$ — момент инерции маятника относительно оси вращения (точки подвеса), $\text{m}$ — полная масса маятника, а $\text{d}$ — расстояние от оси вращения до центра масс маятника.

1. Найдём полную массу маятника $\text{m}$. Так как стержень по условию невесом, полная масса системы равна сумме масс двух шариков:

$m = m_1 + m_2$

2. Найдём момент инерции $\text{I}$ системы относительно точки подвеса. Шарики можно считать материальными точками. Момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции каждой точки. Момент инерции материальной точки вычисляется по формуле $mr^2$, где $\text{r}$ — расстояние до оси вращения.

$I = I_1 + I_2 = m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2$

3. Найдём расстояние $\text{d}$ от точки подвеса до центра масс системы. Выберем ось координат вдоль стержня с началом в точке подвеса. Тогда координата центра масс системы будет равна:

$d = \frac{m_1 l_1 + m_2 l_2}{m_1 + m_2}$

4. Теперь подставим найденные выражения для $\text{m}$, $\text{I}$ и $\text{d}$ в формулу для периода колебаний физического маятника:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2}{(m_1 + m_2)g \frac{m_1 l_1 + m_2 l_2}{m_1 + m_2}}}$

Сократим множитель $(m_1 + m_2)$ в знаменателе дроби под корнем:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2}{g(m_1 l_1 + m_2 l_2)}}$

Это и есть искомая формула для периода малых колебаний данного маятника.

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2}{g(m_1 l_1 + m_2 l_2)}}$