Номер 7.28, страница 41 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.28, страница 41.

Условие.

7.28*. Найдите собственные частоты колебаний воздушного столба в закрытой с обоих концов трубе длиной $l = 3,4$ м.

Решение.

Решение 2.

Дано

$l = 3,4$ м

В условии не указана скорость звука в воздухе, примем ее стандартное значение при нормальных условиях.

$v = 340$ м/с

Найти:

$f_n$ - собственные частоты колебаний

Решение

В трубе, закрытой с обоих концов, могут возникать стоячие звуковые волны. На закрытых концах трубы частицы воздуха не могут смещаться, поэтому там всегда находятся узлы стоячей волны (точки с нулевой амплитудой смещения).

Для образования стоячей волны необходимо, чтобы на всей длине трубы $\text{l}$ укладывалось целое число полуволн. Расстояние между двумя соседними узлами равно половине длины волны $\lambda/2$. Таким образом, условие существования стоячей волны в закрытой с обоих концов трубе имеет вид:

$l = n \frac{\lambda_n}{2}$, где $n = 1, 2, 3, \dots$

Здесь $\text{n}$ — номер гармоники (целое положительное число), а $\lambda_n$ — длина волны, соответствующая $\text{n}$-й гармонике.

Из этого соотношения можно выразить длину волны для каждой собственной частоты:

$\lambda_n = \frac{2l}{n}$

Частота колебаний $f_n$ связана со скоростью волны $\text{v}$ и длиной волны $\lambda_n$ формулой:

$f_n = \frac{v}{\lambda_n}$

Подставив выражение для $\lambda_n$ в формулу для частоты, получим общую формулу для нахождения собственных частот колебаний в трубе, закрытой с обоих концов:

$f_n = \frac{v}{2l/n} = n \frac{v}{2l}$

Рассчитаем основную частоту (первую гармонику), соответствующую $n=1$:

$f_1 = 1 \cdot \frac{v}{2l} = \frac{340 \, \text{м/с}}{2 \cdot 3,4 \, \text{м}} = \frac{340}{6,8} \, \text{Гц} = 50 \, \text{Гц}$

Все остальные собственные частоты (обертоны) являются кратными основной частоте (гармониками):

$f_2 = 2 \cdot f_1 = 100 \, \text{Гц}$

$f_3 = 3 \cdot f_1 = 150 \, \text{Гц}$

и так далее. В общем виде:

$f_n = n \cdot 50 \, \text{Гц}$, где $\text{n}$ — любое натуральное число ($n = 1, 2, 3, \dots$).

Ответ: Собственные частоты колебаний воздушного столба в данной трубе определяются формулой $f_n = n \cdot 50 \, \text{Гц}$, где $n = 1, 2, 3, \dots$