Номер 7.31, страница 41 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.31, страница 41.

Условие.

7.31. При какой глубине озера в нем могут «раскачаться» инфразвуковые колебания с частотой 7,5 Гц?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Частота инфразвуковых колебаний, $f = 7,5$ Гц.

Скорость звука в воде, $v \approx 1500$ м/с (табличное значение).

Найти:

Глубину озера $\text{H}$.

Решение:

Условие «раскачивания» колебаний означает возникновение акустического резонанса в озере, то есть установление стоячей звуковой волны. Озеро в данном случае выступает в роли резонатора.

Стоячая волна возникает в результате интерференции волны, идущей от поверхности ко дну, и волны, отраженной от дна. Для образования стоячей волны необходимо выполнение определенных условий на границах среды:

1. Поверхность воды (граница вода-воздух) является мягкой границей. Здесь давление практически постоянно и равно атмосферному, поэтому на поверхности будет узел давления, что соответствует пучности смещения частиц.

2. Дно озера (граница вода-грунт) является жесткой границей. Частицы воды у дна не могут совершать колебания, поэтому здесь будет узел смещения частиц.

Таким образом, мы имеем резонатор, у которого один конец свободный (пучность смещения), а другой — закрепленный (узел смещения). Условием возникновения стоячей волны в таком резонаторе является то, что его длина (глубина озера $\text{H}$) должна быть равна нечетному числу четвертей длин волн:

$H = (2n + 1) \frac{\lambda}{4}$, где $n = 0, 1, 2, ...$ — целое неотрицательное число, а $\lambda$ — длина звуковой волны в воде.

Длина волны $\lambda$ связана со скоростью ее распространения $\text{v}$ и частотой $\text{f}$ следующим соотношением:

$\lambda = \frac{v}{f}$

Подставим это выражение в условие резонанса:

$H = (2n + 1) \frac{v}{4f}$

Наименьшая глубина, при которой возможен резонанс, соответствует основному тону колебаний, то есть при $n=0$:

$H_{min} = \frac{v}{4f}$

Выполним расчет, подставив числовые значения:

$H_{min} = \frac{1500 \text{ м/с}}{4 \cdot 7,5 \text{ Гц}} = \frac{1500}{30} \text{ м} = 50 \text{ м}$

Это минимальная глубина. Резонанс также будет наблюдаться при глубинах, соответствующих $n = 1, 2, 3, ...$:

При $n=1$: $H_1 = (2 \cdot 1 + 1) \cdot 50 \text{ м} = 3 \cdot 50 \text{ м} = 150 \text{ м}$

При $n=2$: $H_2 = (2 \cdot 2 + 1) \cdot 50 \text{ м} = 5 \cdot 50 \text{ м} = 250 \text{ м}$

и так далее. То есть резонанс возможен при глубинах $H = 50, 150, 250, ...$ метров.

Ответ: Инфразвуковые колебания с частотой 7,5 Гц могут «раскачаться» в озере, если его глубина составляет 50 м, 150 м, 250 м и так далее (то есть равна нечетному числу 50-метровых отрезков). Минимальная глубина составляет 50 м.