Номер 7.36, страница 42 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.36, страница 42.

Условие.

7.36**. Гоночный автомобиль с включенной сиреной мчится со скоростью $u = 306$ км/ч. Частота колебаний сирены $v_0 = 400$ Гц. Впереди на обочине лежит другой автомобиль с точно такой же включенной сиреной (водитель, к счастью, остался жив). Каждый из водителей различает звук сирены другого автомобиля, потому что он выше, чем звук его собственной сирены. Кто из них слышит более высокий звук? Какова частота $\text{v}$ этого звука?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость гоночного автомобиля, $u = 306$ км/ч

Частота колебаний сирены, $ν_0 = 400$ Гц

Скорость звука в воздухе (принимаем стандартное значение), $v = 340$ м/с

$u = 306 \frac{км}{ч} = 306 \cdot \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = 85$ м/с

Найти:

1. Кто из водителей слышит более высокий звук?

2. Какова частота $ν$ этого звука?

Решение:

Данная задача описывается эффектом Доплера, который заключается в изменении частоты волны, воспринимаемой наблюдателем, вследствие относительного движения источника волн и/или наблюдателя. Общая формула для частоты звука, воспринимаемой наблюдателем, имеет вид:

$ν' = ν_0 \frac{v \pm v_п}{v \mp v_и}$

где $ν_0$ — частота источника, $\text{v}$ — скорость звука, $v_п$ — скорость приемника (наблюдателя), $v_и$ — скорость источника. Верхние знаки используются при сближении, нижние — при удалении.

Кто из них слышит более высокий звук?

Рассмотрим два случая.

1. Звук сирены гоночного автомобиля, который воспринимает водитель неподвижного автомобиля.
В этом случае источник (гоночный автомобиль) движется со скоростью $\text{u}$ к неподвижному приемнику ($v_и = u$, $v_п = 0$). Частота, которую слышит водитель на обочине, равна:

$ν_1 = ν_0 \frac{v}{v - u}$

2. Звук сирены неподвижного автомобиля, который воспринимает водитель гоночного автомобиля.
В этом случае приемник (водитель гоночного автомобиля) движется со скоростью $\text{u}$ к неподвижному источнику ($v_п = u$, $v_и = 0$). Частота, которую слышит водитель в гоночном автомобиле, равна:

$ν_2 = ν_0 \frac{v + u}{v}$

Теперь сравним полученные частоты $ν_1$ и $ν_2$. Для этого сравним множители $\frac{v}{v - u}$ и $\frac{v + u}{v}$.

Сравним выражения $v^2$ и $(v - u)(v + u)$.

$(v - u)(v + u) = v^2 - u^2$

Поскольку скорость автомобиля $u > 0$, то $u^2 > 0$, и, следовательно, $v^2 > v^2 - u^2$.

Это означает, что $\frac{v}{v - u} > \frac{v + u}{v}$, и, соответственно, $ν_1 > ν_2$.

Таким образом, более высокий звук слышит водитель неподвижного автомобиля.

Ответ: Более высокий звук слышит водитель, находящийся в неподвижном автомобиле на обочине.

Какова частота ν этого звука?

Самая высокая частота, которую слышит один из водителей, это $ν_1$. Подставим числовые значения в формулу для $ν_1$:

$ν = ν_1 = ν_0 \frac{v}{v - u} = 400 \cdot \frac{340}{340 - 85} = 400 \cdot \frac{340}{255}$

Сократим дробь:

$\frac{340}{255} = \frac{4 \cdot 85}{3 \cdot 85} = \frac{4}{3}$

Тогда частота равна:

$ν = 400 \cdot \frac{4}{3} = \frac{1600}{3} \approx 533,3$ Гц

Ответ: Частота этого звука примерно равна $533,3$ Гц.