Номер 8.5, страница 43 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.5, страница 43.

Условие.

8.5*. Какую силу натяжения должна выдерживать нить, чтобы на ней можно было вращать шарик массой $\text{m}$ в вертикальной плоскости? Каким будет ответ, если нить заменить невесомым стержнем?

Решение.

Решение 2.

Какую силу натяжения должна выдерживать нить, чтобы на ней можно было вращать шарик массой m в вертикальной плоскости?

Рассмотрим движение шарика массой $\text{m}$ по окружности радиусом $\text{L}$ (длина нити) в вертикальной плоскости. На шарик действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к центру окружности.

Второй закон Ньютона для шарика в векторной форме: $m\vec{a} = \vec{T} + m\vec{g}$, где $\vec{a}$ – ускорение шарика. При движении по окружности это ускорение является центростремительным, $a_c = v^2/L$.

Сила натяжения нити не постоянна. Она достигает своего максимального значения в нижней точке траектории и минимального – в верхней. Чтобы нить не порвалась, ее прочность на разрыв должна быть не меньше максимальной силы натяжения.

В нижней точке траектории сила натяжения $T_{нижн}$ направлена вертикально вверх (к центру), а сила тяжести $\text{mg}$ – вертикально вниз. Уравнение движения в проекции на вертикальную ось:
$T_{нижн} - mg = m \frac{v_{нижн}^2}{L}$
Отсюда $T_{нижн} = mg + m \frac{v_{нижн}^2}{L}$.

В верхней точке траектории и сила натяжения $T_{верх}$, и сила тяжести $\text{mg}$ направлены вертикально вниз (к центру):
$T_{верх} + mg = m \frac{v_{верх}^2}{L}$
Отсюда $T_{верх} = m \frac{v_{верх}^2}{L} - mg$.

Для того чтобы шарик совершил полный оборот, нить должна оставаться натянутой в любой момент времени. Наиболее критичной является верхняя точка, где натяжение минимально. Условие прохождения верхней точки: $T_{верх} \ge 0$.
$m \frac{v_{верх}^2}{L} - mg \ge 0 \implies v_{верх}^2 \ge gL$.
Минимальная скорость в верхней точке, при которой возможен полный оборот, составляет $v_{верх, мин} = \sqrt{gL}$.

Скорости в верхней и нижней точках связаны законом сохранения механической энергии. Примем потенциальную энергию в нижней точке равной нулю. Тогда в верхней точке она равна $mg(2L)$.
$\frac{m v_{нижн}^2}{2} = \frac{m v_{верх}^2}{2} + mg(2L) \implies v_{нижн}^2 = v_{верх}^2 + 4gL$.

Найдем скорость в нижней точке, соответствующую минимальной скорости в верхней:
$v_{нижн}^2 = (v_{верх, мин})^2 + 4gL = gL + 4gL = 5gL$.

Теперь можем вычислить максимальную силу натяжения, которая возникнет в нижней точке при этих условиях. Эта сила и определит минимально необходимую прочность нити.
$T_{max} = T_{нижн} = mg + m \frac{5gL}{L} = mg + 5mg = 6mg$.

Ответ: Нить должна выдерживать силу натяжения не менее $6mg$.

Каким будет ответ, если нить заменить невесомым стержнем?

Основное отличие стержня от нити заключается в том, что стержень является жестким. Он может не только растягиваться (создавая силу натяжения), но и сжиматься. Это означает, что в верхней точке траектории сила реакции стержня может быть направлена не только к центру (растяжение), но и от центра (сжатие), "подталкивая" шарик.

Поэтому условие прохождения верхней точки для шарика на стержне иное: шарику достаточно просто достичь ее. Минимально необходимая скорость в верхней точке может быть равна нулю: $v_{верх, мин} = 0$.

Используя закон сохранения энергии, найдем соответствующую скорость в нижней точке:
$v_{нижн}^2 = v_{верх, мин}^2 + 4gL = 0 + 4gL = 4gL$.

Максимальная сила натяжения, как и в случае с нитью, будет в нижней точке. Подставим в уравнение для силы реакции стержня $F_{нижн}$ найденное значение скорости:
$F_{max} = F_{нижн} = mg + m \frac{v_{нижн}^2}{L} = mg + m \frac{4gL}{L} = mg + 4mg = 5mg$.

Для полноты картины найдем силу реакции стержня в верхней точке при $v_{верх} = 0$:
$F_{верх} + mg = m \frac{0^2}{L} \implies F_{верх} = -mg$.
Знак "минус" указывает, что сила направлена в противоположную сторону по сравнению с силой натяжения, то есть от центра. Это сила сжатия, ее модуль равен $\text{mg}$.

Таким образом, стержень должен выдерживать максимальную силу растяжения (натяжения) $5mg$ в нижней точке и максимальную силу сжатия $\text{mg}$ в верхней точке. Вопрос "какую силу натяжения" относится к силе растяжения.

Ответ: Если нить заменить невесомым стержнем, он должен выдерживать силу натяжения не менее $5mg$.