Номер 8.1, страница 43 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.1, страница 43.

Условие.

8.1. Чему равен коэффициент полезного действия $\eta$ наклонной плоскости длиной $L = 3$ м и высотой $h = 1,8$ м, если коэффициент трения $\mu = 0,1$?

Решение.

Решение 2.

8.1. Дано:

Длина наклонной плоскости, $L = 3$ м

Высота наклонной плоскости, $h = 1,8$ м

Коэффициент трения, $μ = 0,1$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Коэффициент полезного действия наклонной плоскости, $η$ - ?

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) $η$ определяется как отношение полезной работы $A_{полезн}$ к полной (затраченной) работе $A_{затр}$.

$η = \frac{A_{полезн}}{A_{затр}}$

Полезной работой при использовании наклонной плоскости является работа по преодолению силы тяжести, то есть работа по увеличению потенциальной энергии тела:

$A_{полезн} = mgh$, где $\text{m}$ — масса тела, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Затраченная работа — это работа, которую совершает внешняя сила $\text{F}$, перемещая тело вдоль наклонной плоскости на расстояние $\text{L}$. Эта работа складывается из полезной работы и работы по преодолению силы трения $A_{тр}$.

$A_{затр} = A_{полезн} + A_{тр}$

Работа силы трения равна произведению модуля силы трения $F_{тр}$ на пройденный путь $\text{L}$:

$A_{тр} = F_{тр} \cdot L$

Сила трения скольжения определяется по формуле: $F_{тр} = μN$, где $\text{N}$ — сила нормальной реакции опоры. На наклонной плоскости сила нормальной реакции опоры равна проекции силы тяжести на ось, перпендикулярную плоскости:

$N = mg \cos(α)$, где $α$ — угол наклона плоскости к горизонту.

Тогда $F_{тр} = μmg \cos(α)$, а работа против силы трения $A_{тр} = μmgL \cos(α)$.

Подставляем выражения для работ в формулу КПД:

$η = \frac{mgh}{mgh + μmgL \cos(α)}$

Сокращаем $\text{mg}$ в числителе и знаменателе:

$η = \frac{h}{h + μL \cos(α)}$

Из геометрии наклонной плоскости, которая образует прямоугольный треугольник с высотой $\text{h}$ и длиной $\text{L}$, мы можем выразить косинус угла $α$. Основание этого треугольника $\text{b}$ найдем по теореме Пифагора: $b = \sqrt{L^2 - h^2}$.

Косинус угла $α$ — это отношение прилежащего катета $\text{b}$ к гипотенузе $\text{L}$:

$\cos(α) = \frac{b}{L} = \frac{\sqrt{L^2 - h^2}}{L}$

Подставим это выражение в формулу для КПД:

$η = \frac{h}{h + μL \frac{\sqrt{L^2 - h^2}}{L}} = \frac{h}{h + μ\sqrt{L^2 - h^2}}$

Теперь проведем вычисления. Сначала найдем значение выражения под корнем:

$\sqrt{L^2 - h^2} = \sqrt{3^2 - 1.8^2} = \sqrt{9 - 3.24} = \sqrt{5.76} = 2.4$ м.

Подставим все числовые значения в итоговую формулу для КПД:

$η = \frac{1.8}{1.8 + 0.1 \cdot 2.4} = \frac{1.8}{1.8 + 0.24} = \frac{1.8}{2.04}$

$η \approx 0.88235$

Выразим КПД в процентах:

$η \approx 0.88235 \cdot 100\% \approx 88.2\%$

Ответ: КПД наклонной плоскости равен приблизительно $88.2\%$.