Номер 8.8, страница 43 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.8, страница 43.

Условие.

8.8* Через блок, укрепленный на равноплечих весах, переброшена нить с грузами (см. рисунок). Какой должна быть масса $\text{m}$ гирь на правой чашке весов, чтобы весы находились в равновесии, если: a) блок заторможен; б) блок может вращаться без трения? В каком из указанных случаев масса гирь меньше и на сколько?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса первого груза: $m_1$

Масса второго груза: $m_2$

Масса гирь на правой чашке весов: $\text{m}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

1. Массу гирь $m_a$ для равновесия, если блок заторможен.

2. Массу гирь $m_b$ для равновесия, если блок может вращаться.

3. Сравнить $m_a$ и $m_b$ и найти их разность.

Решение:

Весы будут в равновесии, если сила, действующая на левую чашку, будет равна силе, действующей на правую чашку. Сила, действующая на правую чашку, в обоих случаях равна весу гирь $P_{прав} = mg$. Сила, действующая на левую чашку, равна силе, с которой система из блока, нити и грузов давит на опору.

а) блок заторможен

Если блок заторможен, он выполняет роль неподвижной опоры, через которую перекинута нить. Система находится в статическом равновесии. Сила натяжения левой части нити равна весу груза $m_1$: $T_1 = m_1g$. Сила натяжения правой части нити равна весу груза $m_2$: $T_2 = m_2g$. Суммарная сила, действующая на левую чашку весов, равна сумме сил натяжения обеих частей нити (пренебрегая массой блока и нити).

$F_{лев} = T_1 + T_2 = m_1g + m_2g = (m_1 + m_2)g$.

Условие равновесия весов: $F_{лев} = F_{прав}$.

$(m_1 + m_2)g = m_a g$

Отсюда находим массу гирь $m_a$:

$m_a = m_1 + m_2$

Ответ: Масса гирь должна быть равна $m = m_1 + m_2$.

б) блок может вращаться без трения

Если блок может вращаться без трения, а массы грузов не равны ($m_1 \neq m_2$), то система придет в движение с ускорением. Эта система называется машиной Атвуда. Сила натяжения нити $\text{T}$ будет одинаковой по всей длине. Запишем второй закон Ньютона для каждого груза (предположим, что $m_1 > m_2$, тогда груз $m_1$ движется вниз, а $m_2$ — вверх):

$m_1g - T = m_1a$

$T - m_2g = m_2a$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти ускорение $\text{a}$:

$m_1g - m_2g = (m_1 + m_2)a \implies a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}g$

Теперь выразим силу натяжения нити $\text{T}$ из второго уравнения и подставим в него выражение для ускорения $\text{a}$:

$T = m_2g + m_2a = m_2g + m_2 \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}g \right) = m_2g \left( 1 + \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)$

$T = m_2g \left( \frac{m_1 + m_2 + m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g$

Блок действует на весы с силой, равной сумме сил натяжения нити с обеих сторон, то есть $F_{лев} = 2T$.

$F_{лев} = 2 \cdot \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g = \frac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}g$

Из условия равновесия весов $F_{лев} = F_{прав}$:

$\frac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}g = m_b g$

Отсюда находим массу гирь $m_b$:

$m_b = \frac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}$

Ответ: Масса гирь должна быть равна $m = \frac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}$.

В каком из указанных случаев масса гирь меньше и на сколько?

Сравним массы, полученные в случаях а) и б). Найдем их разность:

$\Delta m = m_a - m_b = (m_1 + m_2) - \frac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}$

Приведем к общему знаменателю:

$\Delta m = \frac{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1^2 + 2m_1m_2 + m_2^2 - 4m_1m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1^2 - 2m_1m_2 + m_2^2}{m_1 + m_2}$

$\Delta m = \frac{(m_1 - m_2)^2}{m_1 + m_2}$

Поскольку массы $m_1$ и $m_2$ являются положительными величинами, знаменатель $(m_1 + m_2) > 0$. Числитель $(m_1 - m_2)^2 \ge 0$. Следовательно, разность $\Delta m \ge 0$, что означает $m_a \ge m_b$. Равенство достигается только при $m_1 = m_2$, когда система находится в равновесии и во втором случае.

Таким образом, масса гирь меньше в случае б), когда блок может вращаться.

Ответ: Масса гирь меньше в случае, когда блок может вращаться без трения (случай б). Масса в этом случае меньше на величину $\Delta m = \frac{(m_1 - m_2)^2}{m_1 + m_2}$.