Номер 8.12, страница 44 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.12, страница 44.

Условие.

8.12*. Небольшое тело массой $\text{m}$ соскальзывает с верхней точки гладкого закрепленного шара радиусом $\text{R}$. Найдите силу $\text{N}$ нормального давления тела на поверхность шара (см. рисунок).

К задаче 8.12

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса тела: $\text{m}$
Радиус шара: $\text{R}$
Начальная скорость: $v_0 = 0$ (тело соскальзывает с верхней точки)
Поверхность гладкая (трения нет)

Найти:

Силу нормального давления $\text{N}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии и вторым законом Ньютона.

1. Закон сохранения энергии.
Примем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную плоскость, проходящую через центр шара. В начальный момент времени тело находится на вершине шара на высоте $\text{R}$ от нулевого уровня и покоится ($v_0 = 0$). Его полная механическая энергия равна: $E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{mv_0^2}{2} + mgR = mgR$

В произвольный момент времени, когда тело находится в положении, определяемом углом $\alpha$ (отсчитываемым от вертикали), его высота над нулевым уровнем будет $h = R\cos\alpha$. Пусть скорость тела в этот момент равна $\text{v}$. Полная механическая энергия тела в этом положении: $E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgR\cos\alpha$

Поскольку поверхность шара гладкая, трение отсутствует, и полная механическая энергия системы сохраняется: $E_0 = E$. $mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR\cos\alpha$ Из этого уравнения найдем квадрат скорости тела: $\frac{mv^2}{2} = mgR - mgR\cos\alpha = mgR(1 - \cos\alpha)$ $v^2 = 2gR(1 - \cos\alpha)$

2. Второй закон Ньютона.
На тело в положении $\alpha$ действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная по радиусу от центра шара.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление, направив ось к центру шара. Тело движется по окружности радиусом $\text{R}$, следовательно, у него есть центростремительное ускорение $a_n = \frac{v^2}{R}$, направленное к центру шара. Проекция силы тяжести на радиальное направление равна $mg\cos\alpha$. Сила $\text{N}$ направлена в противоположную сторону. $m a_n = mg\cos\alpha - N$ Подставив выражение для центростремительного ускорения, получим: $m \frac{v^2}{R} = mg\cos\alpha - N$

3. Нахождение силы N.
Теперь подставим выражение для $v^2$, полученное из закона сохранения энергии, в уравнение второго закона Ньютона: $m \frac{2gR(1 - \cos\alpha)}{R} = mg\cos\alpha - N$ $2mg(1 - \cos\alpha) = mg\cos\alpha - N$ $2mg - 2mg\cos\alpha = mg\cos\alpha - N$

Выразим из этого уравнения искомую силу нормального давления $\text{N}$: $N = mg\cos\alpha - (2mg - 2mg\cos\alpha)$ $N = mg\cos\alpha - 2mg + 2mg\cos\alpha$ $N = 3mg\cos\alpha - 2mg = mg(3\cos\alpha - 2)$

Ответ: $N = mg(3\cos\alpha - 2)$.