Номер 8.18, страница 45 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.18, страница 45.

Условие.

8.18**. Небольшое тело массой $\text{m}$ соскальзывает без трения с наклонной плоскости, переходящей в «мертвую петлю» радиусом $\text{R}$ (см. рисунок к задаче 8.15). Начальная высота тела $H = 5R$. С какой силой $\text{F}$ давит тело на поверхность в верхней точке «мертвой петли»? Каким будет ответ, если в условии задачи соскальзывающее тело заменить тонкостенным колечком, скатывающимся без проскальзывания?

Решение.

Решение 2.

С какой силой F давит тело на поверхность в верхней точке «мертвой петли»?

Дано:

Масса тела: $\text{m}$
Радиус петли: $\text{R}$
Начальная высота: $H = 5R$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$
Движение без трения.

Найти:

Силу давления $\text{F}$ в верхней точке петли.

Решение:

Воспользуемся законом сохранения механической энергии, так как трение отсутствует. За нулевой уровень потенциальной энергии примем нижнюю точку петли. Начальная полная механическая энергия тела на высоте $\text{H}$ равна его потенциальной энергии: $E_{нач} = E_{п} = mgH = mg(5R) = 5mgR$.

В верхней точке петли тело находится на высоте $\text{2R}$ и обладает скоростью $\text{v}$. Его полная механическая энергия складывается из потенциальной и кинетической энергий: $E_{верх} = E_{п}' + E_{к}' = mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2$.

Согласно закону сохранения энергии, $E_{нач} = E_{верх}$: $5mgR = 2mgR + \frac{1}{2}mv^2$ $3mgR = \frac{1}{2}mv^2$ Отсюда выразим квадрат скорости тела в верхней точке: $v^2 = 6gR$.

Теперь запишем второй закон Ньютона для тела в верхней точке петли. В этой точке на тело действуют две силы, направленные вертикально вниз: сила тяжести $\text{mg}$ и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$. Сумма этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$: $N + mg = m \frac{v^2}{R}$.

По третьему закону Ньютона, сила $\text{F}$, с которой тело давит на поверхность, равна по модулю силе реакции опоры $\text{N}$. Таким образом, $F = N$. $F = m \frac{v^2}{R} - mg$.

Подставим найденное ранее выражение для $v^2$: $F = m \frac{6gR}{R} - mg = 6mg - mg = 5mg$.

Ответ: Сила, с которой тело давит на поверхность в верхней точке, равна $F = 5mg$.

Каким будет ответ, если в условии задачи соскальзывающее тело заменить тонкостенным колечком, скатывающимся без проскальзывания?

Дано:

Масса колечка: $\text{m}$
Радиус петли: $\text{R}$
Начальная высота: $H = 5R$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$
Движение без проскальзывания.
Момент инерции тонкостенного кольца: $I = mr^2$ (где $\text{r}$ - радиус сечения кольца, предполагаем $r \ll R$).

Найти:

Силу давления $\text{F}$ в верхней точке петли для колечка.

Решение:

Снова применяем закон сохранения энергии. В данном случае полная механическая энергия колечка включает кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Начальная энергия колечка на высоте $\text{H}$ не изменилась: $E_{нач} = mgH = 5mgR$.

Полная механическая энергия колечка в верхней точке петли (на высоте $\text{2R}$) теперь складывается из потенциальной энергии, кинетической энергии поступательного движения центра масс и кинетической энергии вращательного движения: $E_{верх} = mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$, где $\text{v}$ - скорость центра масс, $\omega$ - угловая скорость вращения.

Условие качения без проскальзывания: $v = \omega r$. Момент инерции тонкостенного кольца (обруча) относительно оси, проходящей через его центр масс, равен $I = mr^2$. Подставим эти соотношения в выражение для энергии вращения: $E_{к.вращ} = \frac{1}{2}(mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2$.

Таким образом, полная кинетическая энергия в верхней точке равна: $E_{к.полная} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$. А полная механическая энергия: $E_{верх} = 2mgR + mv^2$.

Приравниваем начальную и конечную энергии: $5mgR = 2mgR + mv^2$ $3mgR = mv^2$ Отсюда находим квадрат скорости центра масс колечка: $v^2 = 3gR$.

Второй закон Ньютона для центра масс колечка в верхней точке петли записывается аналогично первому случаю: $N + mg = m \frac{v^2}{R}$.

Сила давления $F = N$: $F = m \frac{v^2}{R} - mg$.

Подставим новое значение для $v^2$: $F = m \frac{3gR}{R} - mg = 3mg - mg = 2mg$.

Ответ: Сила, с которой колечко давит на поверхность в верхней точке, равна $F = 2mg$.