Номер 8.25, страница 46 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.25, страница 46.

Условие.

8.25**. Какую форму должен иметь сосуд, чтобы при вытекании через маленькое отверстие в дне уровень жидкости понижался с постоянной скоростью? Трением в жидкости можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано

Скорость понижения уровня жидкости постоянна: $-\frac{dy}{dt} = u = \text{const}$, где $\text{y}$ - высота уровня жидкости.

Площадь отверстия в дне сосуда: $S_0$.

Ускорение свободного падения: $\text{g}$.

Трение в жидкости пренебрежимо мало.

Найти:

Форму сосуда, то есть зависимость его радиуса $\text{r}$ от высоты $\text{y}$ — $r(y)$.

Решение

Для решения этой задачи мы будем использовать закон Торричелли для скорости истечения жидкости и уравнение неразрывности (сохранения массы/объема) для потока жидкости.

1. Согласно закону Торричелли, скорость $\text{v}$ вытекания идеальной жидкости из малого отверстия, находящегося на глубине $\text{y}$ от свободной поверхности, определяется формулой:

$v = \sqrt{2gy}$

2. Объемный расход жидкости, вытекающей через отверстие площадью $S_0$, равен произведению скорости потока на площадь отверстия:

$Q_{out} = S_0 \cdot v = S_0 \sqrt{2gy}$

3. С другой стороны, этот расход приводит к понижению уровня жидкости в сосуде. Изменение объема жидкости в сосуде за время $\text{dt}$ равно $dV = S(y) \cdot dy$, где $S(y)$ — площадь поперечного сечения сосуда на высоте $\text{y}$. Тогда скорость изменения объема (расход из сосуда) составляет:

$Q_{in} = \frac{dV}{dt} = S(y) \frac{dy}{dt}$

Поскольку объем жидкости в сосуде уменьшается, $Q_{in}$ и $Q_{out}$ связаны как $Q_{out} = -Q_{in}$.

$S_0 \sqrt{2gy} = -S(y) \frac{dy}{dt}$

4. По условию задачи, уровень жидкости понижается с постоянной скоростью, то есть $-\frac{dy}{dt} = u$, где $\text{u}$ — положительная константа. Подставим это в наше уравнение:

$S_0 \sqrt{2gy} = S(y) \cdot u$

5. Из этого соотношения мы можем выразить, как площадь поперечного сечения сосуда $S(y)$ должна зависеть от высоты $\text{y}$:

$S(y) = \frac{S_0 \sqrt{2g}}{u} \sqrt{y}$

6. Если предположить, что сосуд является телом вращения (что является наиболее естественным), то его поперечное сечение на высоте $\text{y}$ — это круг площадью $S(y) = \pi r^2$, где $\text{r}$ — радиус сосуда на этой высоте. Подставим это в предыдущее выражение:

$\pi r^2 = \left( \frac{S_0 \sqrt{2g}}{u} \right) y^{\frac{1}{2}}$

7. Теперь найдем зависимость высоты $\text{y}$ от радиуса $\text{r}$. Для этого выразим $\text{y}$ из полученного уравнения. Сначала возведем обе части в квадрат:

$(\pi r^2)^2 = \left( \frac{S_0 \sqrt{2g}}{u} \right)^2 y$

$\pi^2 r^4 = \frac{S_0^2 \cdot 2g}{u^2} y$

Отсюда получаем уравнение профиля сосуда:

$y = \left( \frac{\pi^2 u^2}{2g S_0^2} \right) r^4$

Выражение в скобках является константой, обозначим ее как $\text{k}$. Тогда уравнение принимает вид:

$y = k r^4$

Это означает, что высота сосуда должна быть пропорциональна четвертой степени его радиуса. Такой сосуд представляет собой тело, образованное вращением параболы четвертого порядка вокруг вертикальной оси.

Ответ:

Сосуд должен иметь форму тела вращения, которое образуется при вращении кривой, описываемой уравнением $y = k \cdot r^4$, вокруг вертикальной оси $\text{y}$. Здесь $\text{y}$ — высота от дна, $\text{r}$ — радиус сосуда на этой высоте, а $\text{k}$ — постоянный коэффициент, зависящий от скорости понижения уровня, площади отверстия и ускорения свободного падения. Иными словами, высота сосуда должна быть пропорциональна четвертой степени его радиуса.