Номер 8.21, страница 46 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.21, страница 46.

Условие.

8.21*. Гладкий шелковый шнур длиной $\text{L}$ и массой $\text{m}$, лежащий перпендикулярно краю стола, начинает без начальной скорости соскальзывать с края стола. Найдите скорость $\text{v}$ и ускорение $\text{a}$ шнура в тот момент, когда он соскользнул со стола наполовину. Какова сила $\text{T}$ натяжения шнура у края стола в этот момент?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина шнура: $\text{L}$

Масса шнура: $\text{m}$

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Стол гладкий (трения нет).

Найти:

Скорость $\text{v}$, ускорение $\text{a}$ и силу натяжения $\text{T}$ в момент, когда шнур соскользнул наполовину.

Решение:

Обозначим линейную плотность шнура как $\rho = \frac{m}{L}$. В момент, когда со стола соскользнула половина шнура, на столе лежит часть длиной $\frac{L}{2}$ и массой $\frac{m}{2}$, а свисает часть также длиной $\frac{L}{2}$ и массой $\frac{m}{2}$.

1. Нахождение ускорения $\text{a}$

Рассмотрим систему как единое целое. Движущей силой является сила тяжести, действующая на свисающую часть шнура. Эта сила приложена к центру масс свисающей части.

Масса свисающей части: $m_{свис} = \frac{m}{2}$.

Сила тяжести, действующая на нее: $F_{тяж} = m_{свис}g = \frac{m}{2}g$.

Эта сила сообщает ускорение $\text{a}$ всему шнуру массой $\text{m}$. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{тяж} = m \cdot a$

$\frac{m}{2}g = m \cdot a$

Отсюда находим ускорение:

$a = \frac{g}{2}$

Ответ: Ускорение шнура в данный момент $a = \frac{g}{2}$.

2. Нахождение силы натяжения $\text{T}$

Сила натяжения $\text{T}$ у края стола — это сила, с которой свисающая часть тянет часть, лежащую на столе. Рассмотрим часть шнура, которая находится на столе. Ее масса $m_{стол} = \frac{m}{2}$. Единственная горизонтальная сила, действующая на эту часть, — это сила натяжения $\text{T}$. По второму закону Ньютона для этой части шнура:

$T = m_{стол} \cdot a$

Подставим найденное ранее ускорение $a = \frac{g}{2}$:

$T = \frac{m}{2} \cdot \frac{g}{2} = \frac{mg}{4}$

Проверка: Можно рассмотреть свисающую часть. На нее действуют две силы: сила тяжести $\frac{mg}{2}$ (вниз) и сила натяжения $\text{T}$ (вверх). Результирующая сила сообщает этой части ускорение $\text{a}$ (вниз):

$\frac{mg}{2} - T = m_{свис} \cdot a = \frac{m}{2} \cdot a$

$T = \frac{mg}{2} - \frac{m}{2}a = \frac{m}{2}(g - a)$

Подставляя $a = \frac{g}{2}$, получаем:

$T = \frac{m}{2}(g - \frac{g}{2}) = \frac{m}{2} \cdot \frac{g}{2} = \frac{mg}{4}$. Результаты совпали.

Ответ: Сила натяжения шнура у края стола $T = \frac{mg}{4}$.

3. Нахождение скорости $\text{v}$

Поскольку стол гладкий, трение отсутствует, и можно применить закон сохранения механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем поверхность стола.

Начальное состояние: шнур покоится ($v_0 = 0$), его центр масс находится на столе. Начальная механическая энергия $E_1 = 0$.

Конечное состояние: соскользнула половина шнура. Весь шнур движется со скоростью $\text{v}$.

Кинетическая энергия всей системы: $E_k = \frac{1}{2}mv^2$.

Потенциальная энергия системы определяется положением свисающей части. Масса свисающей части $\frac{m}{2}$. Ее центр масс находится на расстоянии $\text{h}$ ниже уровня стола. Поскольку длина свисающей части $\frac{L}{2}$, ее центр масс находится посредине, то есть на глубине $h = \frac{L/2}{2} = \frac{L}{4}$.

Потенциальная энергия свисающей части: $E_p = -m_{свис}gh = -\frac{m}{2}g\frac{L}{4} = -\frac{mgL}{8}$.

Полная механическая энергия в конечном состоянии: $E_2 = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{mgL}{8}$.

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$0 = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{mgL}{8}$

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{mgL}{8}$

$v^2 = \frac{gL}{4}$

$v = \sqrt{\frac{gL}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{gL}$

Ответ: Скорость шнура в данный момент $v = \frac{1}{2}\sqrt{gL}$.