Номер 8.17, страница 45 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.17, страница 45.

Условие.

8.17**. Галилей измерял ускорение свободного падения опытным путем, скатывая шары с наклонной плоскости. При этом он исходил из того, что ускорение шара $a = g \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол наклона плоскости. На самом же деле шары скатываются с меньшим ускорением, поэтому Галилей получил заниженное значение ускорения свободного падения. Какое значение $g'$ получил бы Галилей, скатывая с наклонной плоскости обручи?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Галилей исходит из ошибочной предпосылки, что ускорение тела, скатывающегося с наклонной плоскости, описывается формулой для соскальзывающего тела (точечной массы):

$a_{теор} = g' \sin\alpha$

где $g'$ — измеряемое им значение ускорения свободного падения, а $\alpha$ — угол наклона плоскости. Он измеряет реальное ускорение $a_{реал}$ катящегося тела и вычисляет $g'$ по формуле:

$g' = \frac{a_{реал}}{\sin\alpha}$

Эксперимент проводится с обручем.

Найти:

Значение $g'$, которое получил бы Галилей, используя обруч.

Решение:

Найдем реальное ускорение $a_{реал}$ обруча, скатывающегося с наклонной плоскости без проскальзывания. Для этого запишем второй закон Ньютона для поступательного и вращательного движения.

Силы, действующие на обруч вдоль наклонной плоскости:

1. Проекция силы тяжести: $mg\sin\alpha$

2. Сила трения покоя: $F_{тр}$ (направлена против движения)

Уравнение для поступательного движения:

$ma_{реал} = mg\sin\alpha - F_{тр}$ (1)

Сила трения создает вращающий момент $\text{M}$ относительно центра масс обруча:

$M = F_{тр} \cdot R$

Уравнение для вращательного движения:

$M = I\epsilon$ (2)

где $\text{I}$ — момент инерции обруча, $\epsilon$ — его угловое ускорение, $\text{R}$ — радиус обруча.

Момент инерции обруча (тонкого кольца) относительно оси, проходящей через его центр, равен $I = mR^2$.

Условие скатывания без проскальзывания связывает линейное и угловое ускорение:

$a_{реал} = \epsilon R \implies \epsilon = \frac{a_{реал}}{R}$ (3)

Подставим (3) в (2):

$F_{тр}R = I \frac{a_{реал}}{R} \implies F_{тр} = \frac{Ia_{реал}}{R^2}$

Теперь подставим это выражение для силы трения в уравнение (1):

$ma_{реал} = mg\sin\alpha - \frac{Ia_{реал}}{R^2}$

Перенесем члены с $a_{реал}$ в одну сторону:

$ma_{реал} + \frac{Ia_{реал}}{R^2} = mg\sin\alpha$

$a_{реал}(m + \frac{I}{R^2}) = mg\sin\alpha$

Выразим $a_{реал}$:

$a_{реал} = \frac{mg\sin\alpha}{m + \frac{I}{R^2}}$

Подставим момент инерции для обруча $I = mR^2$:

$a_{реал} = \frac{mg\sin\alpha}{m + \frac{mR^2}{R^2}} = \frac{mg\sin\alpha}{m + m} = \frac{mg\sin\alpha}{2m} = \frac{1}{2}g\sin\alpha$

Это реальное ускорение, которое измерил бы Галилей. Теперь он использует свою формулу, чтобы найти $g'$:

$g' = \frac{a_{реал}}{\sin\alpha} = \frac{\frac{1}{2}g\sin\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{2}g$

Таким образом, используя обручи, Галилей получил бы значение ускорения свободного падения, в два раза меньшее истинного.

Для сравнения, для шара ($I=\frac{2}{5}mR^2$) реальное ускорение $a_{реал} = \frac{5}{7}g\sin\alpha$, и Галилей получил бы $g'=\frac{5}{7}g$, что ближе к истинному значению, но все равно занижено.

Ответ: $g' = \frac{1}{2}g$