Номер 8.20, страница 45 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.20, страница 45.

Условие.

8.20**. Веревка массой $\text{m}$ и длиной $\text{L}$ переброшена через маленький блок и уравновешена. От легкого толчка блок начал вращаться. Какова скорость $\text{v}$ веревки в тот момент, когдаmс одной стороны блока свешивается большая часть веревки длиной $\text{x}$? С какой силой $\text{F}$ веревка давит на блок в этот момент?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса веревки: $\text{m}$
Длина веревки: $\text{L}$
Длина большей части веревки: $\text{x}$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Все данные представлены в общем виде и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

1. Скорость веревки $\text{v}$.
2. Силу давления веревки на блок $\text{F}$.

Решение:

1. Какова скорость v веревки в тот момент, когда с одной стороны блока свешивается большая часть веревки длиной x?

Для нахождения скорости веревки воспользуемся законом сохранения механической энергии. Система состоит из веревки и Земли. Так как блок маленький и трение отсутствует, полная механическая энергия системы сохраняется.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную линию, проходящую через блок.

Начальное состояние: Веревка находится в равновесии, значит, с каждой стороны блока свисает часть веревки длиной $L/2$. Скорость веревки равна нулю ($v_0 = 0$).
Масса каждой половины веревки равна $m/2$. Центр масс каждой половины находится на расстоянии $(L/2)/2 = L/4$ ниже блока. Начальная потенциальная энергия системы: $E_{p0} = -\frac{m}{2}g\frac{L}{4} - \frac{m}{2}g\frac{L}{4} = -\frac{mgL}{4}$ Начальная кинетическая энергия: $E_{k0} = 0$. Полная начальная энергия: $E_0 = E_{k0} + E_{p0} = -\frac{mgL}{4}$.

Конечное состояние: С одной стороны свисает часть веревки длиной $\text{x}$, а с другой — длиной $L-x$. Вся веревка движется со скоростью $\text{v}$.
Линейная плотность веревки $\rho = m/L$. Масса длинной части: $m_1 = \rho x = \frac{m}{L}x$. Ее центр масс находится на расстоянии $x/2$ ниже блока. Масса короткой части: $m_2 = \rho(L-x) = \frac{m}{L}(L-x)$. Ее центр масс находится на расстоянии $(L-x)/2$ ниже блока. Конечная потенциальная энергия системы: $E_p = -m_1 g \frac{x}{2} - m_2 g \frac{L-x}{2} = -\frac{m}{L}x \cdot g \frac{x}{2} - \frac{m}{L}(L-x) \cdot g \frac{L-x}{2} = -\frac{mg}{2L}(x^2 + (L-x)^2)$. Конечная кинетическая энергия всей веревки массой $\text{m}$: $E_k = \frac{1}{2}mv^2$. Полная конечная энергия: $E = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{mg}{2L}(x^2 + (L-x)^2)$.

По закону сохранения энергии $E_0 = E$: $-\frac{mgL}{4} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{mg}{2L}(x^2 + (L-x)^2)$

Выразим $v^2$: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{mg}{2L}(x^2 + (L-x)^2) - \frac{mgL}{4}$ $v^2 = \frac{g}{L}(x^2 + L^2 - 2Lx + x^2) - \frac{gL}{2}$ $v^2 = \frac{g}{L}(2x^2 - 2Lx + L^2) - \frac{gL}{2}$ $v^2 = \frac{2gx^2}{L} - 2gx + gL - \frac{gL}{2}$ $v^2 = \frac{2gx^2}{L} - 2gx + \frac{gL}{2}$ $v^2 = \frac{g}{L}(2x^2 - 2Lx + \frac{L^2}{2}) = \frac{g}{2L}(4x^2 - 4Lx + L^2)$ $v^2 = \frac{g}{2L}(2x - L)^2$

Извлекаем квадратный корень. Так как $\text{x}$ — большая часть, то $x > L/2$, следовательно, $2x-L > 0$. $v = (2x-L)\sqrt{\frac{g}{2L}}$

Ответ: Скорость веревки равна $v = (2x-L)\sqrt{\frac{g}{2L}}$.

2. С какой силой F веревка давит на блок в этот момент?

Сила давления $\text{F}$, с которой веревка давит на блок, по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе $F_{опоры}$, с которой блок действует на веревку. Найдем силу $F_{опоры}$, используя второй закон Ньютона для центра масс всей веревки.

$m\vec{a}_{cm} = \sum \vec{F}_{ext}$

На систему (веревку) действуют две внешние силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вниз, и сила реакции опоры со стороны блока $\vec{F}_{опоры}$, направленная вверх. В проекции на вертикальную ось, направленную вниз: $m a_{cm} = mg - F_{опоры}$ Отсюда, искомая сила $F = F_{опоры} = mg - m a_{cm}$.

Найдем ускорение центра масс веревки $a_{cm}$. Сначала определим положение центра масс $y_{cm}$ (отсчитывая от блока вниз): $y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m} = \frac{(\frac{m}{L}x)\frac{x}{2} + (\frac{m}{L}(L-x))\frac{L-x}{2}}{m} = \frac{x^2 + (L-x)^2}{2L}$

Скорость центра масс $v_{cm}$ равна производной от координаты по времени: $v_{cm} = \frac{dy_{cm}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{x^2 + (L-x)^2}{2L}\right) = \frac{1}{2L}(2x\frac{dx}{dt} + 2(L-x)(-\frac{dx}{dt})) = \frac{v}{L}(2x-L)$, где $\frac{dx}{dt} = v$ — скорость движения веревки.

Ускорение центра масс $a_{cm}$ равно производной от скорости по времени: $a_{cm} = \frac{dv_{cm}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{v(2x-L)}{L}\right) = \frac{1}{L}\left(\frac{dv}{dt}(2x-L) + v(2\frac{dx}{dt})\right) = \frac{1}{L}(a(2x-L) + 2v^2)$ где $a = \frac{dv}{dt}$ — ускорение веревки. Ускорение найдем из второго закона Ньютона для веревки как целого. Движущая сила — разность весов свисающих частей: $ma = m_1 g - m_2 g = \frac{m}{L}xg - \frac{m}{L}(L-x)g = \frac{mg}{L}(2x-L)$ $a = \frac{g}{L}(2x-L)$

Подставим выражения для $\text{a}$ и $v^2$ в формулу для $a_{cm}$: $a_{cm} = \frac{1}{L}\left(\frac{g}{L}(2x-L)(2x-L) + 2\frac{g}{2L}(2x-L)^2\right)$ $a_{cm} = \frac{1}{L}\left(\frac{g}{L}(2x-L)^2 + \frac{g}{L}(2x-L)^2\right) = \frac{2g}{L^2}(2x-L)^2$

Теперь найдем силу давления $\text{F}$: $F = mg - m a_{cm} = mg - m\frac{2g}{L^2}(2x-L)^2 = mg\left(1 - \frac{2(2x-L)^2}{L^2}\right)$

Ответ: Сила, с которой веревка давит на блок, равна $F = mg\left(1 - \frac{2(2x-L)^2}{L^2}\right)$.