Номер 8.26, страница 47 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.26, страница 47.

Условие.

8.26*. Оцените, во сколько раз увеличится рекорд по прыжкам в высоту, если спортсмены будут состязаться в зале, расположенном на Луне, где сила тяжести в шесть раз меньше, чем на Земле.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сила тяжести на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле.

$F_Л = \frac{F_З}{6}$

где $F_Л$ – сила тяжести на Луне, $F_З$ – сила тяжести на Земле.

Поскольку сила тяжести $F = mg$, где $\text{m}$ - масса тела, а $\text{g}$ - ускорение свободного падения, то:

$mg_Л = \frac{mg_З}{6}$

Следовательно, ускорение свободного падения на Луне:

$g_Л = \frac{g_З}{6}$

Найти:

Во сколько раз увеличится рекорд по прыжкам в высоту, то есть найти отношение рекорда на Луне $H_Л$ к рекорду на Земле $H_З$: $\frac{H_Л}{H_З}$.

Решение:

Для оценки рекорда по прыжкам в высоту на Луне воспользуемся физической моделью, основанной на законе сохранения энергии. Будем считать, что максимальная работа, которую могут совершить мышцы спортсмена при отталкивании от опоры, является постоянной величиной и не зависит от силы тяжести. Обозначим эту работу как $\text{W}$.

Эта работа $\text{W}$ идет на увеличение потенциальной энергии центра масс (ЦМ) спортсмена. То есть, работа мышц преобразуется в прирост потенциальной энергии тела спортсмена от самой нижней точки приседа ($h_{старт}$) до верхней точки траектории ($h_{макс}$).

$W = \Delta E_p = mg \cdot (h_{макс} - h_{старт}) = mg \Delta h_{ЦМ}$

где $\Delta h_{ЦМ}$ – это высота, на которую поднимается центр масс спортсмена.

Поскольку работа $\text{W}$ и масса спортсмена $\text{m}$ постоянны, высота подъема центра масс $\Delta h_{ЦМ}$ обратно пропорциональна ускорению свободного падения $\text{g}$:

$\Delta h_{ЦМ} = \frac{W}{mg}$

Запишем это соотношение для Земли и Луны:

$\Delta h_{ЦМ,З} = \frac{W}{mg_З}$

$\Delta h_{ЦМ,Л} = \frac{W}{mg_Л}$

Найдем отношение высот подъема центра масс на Луне и на Земле:

$\frac{\Delta h_{ЦМ,Л}}{\Delta h_{ЦМ,З}} = \frac{W/(mg_Л)}{W/(mg_З)} = \frac{g_З}{g_Л}$

Так как $g_Л = g_З / 6$, получаем:

$\frac{\Delta h_{ЦМ,Л}}{\Delta h_{ЦМ,З}} = \frac{g_З}{g_З/6} = 6$

Таким образом, высота, на которую спортсмен сможет поднять свой центр масс на Луне, в 6 раз больше, чем на Земле:

$\Delta h_{ЦМ,Л} = 6 \cdot \Delta h_{ЦМ,З}$

Рекорд в прыжках в высоту ($\text{H}$) – это абсолютная высота планки, которую преодолевает спортсмен. Эта высота примерно равна максимальной высоте, которой достигает центр масс спортсмена ($h_{макс}$). В свою очередь, $h_{макс}$ равна начальной высоте центра масс в момент начала прыжка ($h_{старт}$) плюс высота подъема ЦМ ($\Delta h_{ЦМ}$).

$H \approx h_{макс} = h_{старт} + \Delta h_{ЦМ}$

Запишем это для Земли и Луны:

$H_З \approx h_{старт} + \Delta h_{ЦМ,З}$

$H_Л \approx h_{старт} + \Delta h_{ЦМ,Л} = h_{старт} + 6 \cdot \Delta h_{ЦМ,З}$

Для численной оценки нам нужно принять разумные значения для $h_{старт}$ и $\Delta h_{ЦМ,З}$ для спортсмена мирового класса.
1. Мировой рекорд по прыжкам в высоту составляет около 2.5 м. Будем считать, что максимальная высота центра масс спортсмена на Земле примерно равна этой величине: $H_З \approx 2.5$ м.
2. Начальная высота центра масс спортсмена в нижней точке приседа перед прыжком ($h_{старт}$) составляет примерно 1 м.
3. Тогда высота, на которую поднимается центр масс на Земле, составляет:
$\Delta h_{ЦМ,З} = H_З - h_{старт} \approx 2.5 \text{ м} - 1 \text{ м} = 1.5 \text{ м}$.

Теперь можем оценить рекорд на Луне:

$H_Л \approx h_{старт} + 6 \cdot \Delta h_{ЦМ,З} \approx 1 \text{ м} + 6 \cdot 1.5 \text{ м} = 1 \text{ м} + 9 \text{ м} = 10 \text{ м}$.

Найдем, во сколько раз увеличится рекорд:

$\frac{H_Л}{H_З} \approx \frac{10 \text{ м}}{2.5 \text{ м}} = 4$

Ответ: Рекорд по прыжкам в высоту на Луне увеличится примерно в 4 раза.