Номер 8.29, страница 47 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.29, страница 47.

Условие.

8.29**. Верхний конец тонкой однородной деревянной палочки шарнирно закреплен, а нижний конец погружен в воду (см. рисунок). Если сосуд с водой медленно поднимать, то с некоторого момента вертикальное положение палочки станет неустойчивым. Почему? Докажите, что при дальнейшем подъеме сосуда палочка будет отклоняться так, что длина погруженной в воду части будет оставаться неизменной. Какова плотность $\rho$ палочки, если в воде находится четверть ее длины?

Решение.

Решение 2.

С не которого момента вертикальное положение палочки станет неустойчивым. Почему?

Вертикальное положение палочки является положением равновесия, так как равнодействующая всех сил равна нулю. Устойчивость этого положения определяется реакцией системы на малое отклонение. На палочку, отклоненную на малый угол $\theta$ от вертикали, действуют две силы, создающие момент относительно точки подвеса (шарнира): сила тяжести $m\vec{g}$ и выталкивающая сила (сила Архимеда) $\vec{F}_A$.

1. Сила тяжести $m\vec{g}$ приложена к центру масс палочки, который для однородной палочки находится на расстоянии $L/2$ от точки подвеса. Она создает возвращающий момент $M_g$, стремящийся вернуть палочку в вертикальное положение: $M_g = mg \frac{L}{2} \sin\theta$.

2. Выталкивающая сила $\vec{F}_A$ приложена к центру масс погруженной части палочки (центру плавучести). Если длина погруженной части равна $\text{x}$, то эта точка находится на расстоянии $L - x/2$ от точки подвеса. Сила Архимеда создает опрокидывающий момент $M_A$, стремящийся увеличить отклонение: $M_A = F_A (L - \frac{x}{2}) \sin\theta$.

Вертикальное положение палочки устойчиво, пока возвращающий момент силы тяжести больше опрокидывающего момента силы Архимеда, то есть $M_g > M_A$.

При медленном подъеме сосуда с водой глубина погружения $\text{x}$ увеличивается. Величина силы Архимеда $F_A = \rho_w g S x$ (где $\rho_w$ — плотность воды, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения палочки) растет пропорционально $\text{x}$. Опрокидывающий момент $M_A$ растет еще быстрее, так как с ростом $\text{x}$ уменьшается плечо $(L - x/2)$.

Вертикальное положение становится неустойчивым в тот момент, когда опрокидывающий момент становится равным возвращающему моменту: $M_g = M_A$. При дальнейшем увеличении $\text{x}$ опрокидывающий момент превысит возвращающий ($M_A > M_g$), и любое малое отклонение приведет к тому, что палочка начнет падать до тех пор, пока не достигнет нового положения равновесия.

Таким образом, неустойчивость наступает, когда $mg \frac{L}{2} \sin\theta = F_A (L - \frac{x}{2}) \sin\theta$, или $mg \frac{L}{2} = F_A (L - \frac{x}{2})$.

Ответ: Вертикальное положение палочки станет неустойчивым с того момента, когда опрокидывающий момент силы Архимеда относительно точки подвеса станет равным возвращающему моменту силы тяжести. Это происходит потому, что при увеличении глубины погружения опрокидывающий момент растет быстрее, чем возвращающий, и при достижении критической глубины он начинает преобладать.

Докажите, что при дальнейшем подъеме сосуда палочка будет отклоняться так, что длина погруженной в воду части будет оставаться неизменной.

Рассмотрим условие равновесия палочки, отклоненной на угол $\theta$ от вертикали. Сумма моментов сил относительно точки подвеса должна быть равна нулю.

$M_g - M_A = 0$

$mg \frac{L}{2} \sin\theta - F_A (L - \frac{x}{2}) \sin\theta = 0$

Если палочка отклонена, то $\sin\theta \neq 0$. Мы можем сократить уравнение на $\sin\theta$:

$mg \frac{L}{2} = F_A (L - \frac{x}{2})$

Подставим выражения для массы палочки $m = \rho L S$ и силы Архимеда $F_A = \rho_w g S x$:

$(\rho L S g) \frac{L}{2} = (\rho_w g S x) (L - \frac{x}{2})$

Сократив на $S g$, получим:

$\rho \frac{L^2}{2} = \rho_w x (L - \frac{x}{2})$

Это уравнение связывает плотность палочки $\rho$ и плотность воды $\rho_w$ с длиной погруженной части $\text{x}$. Важно отметить, что в это уравнение не входит угол отклонения $\theta$. Это означает, что равновесие в отклоненном положении возможно только при одном определенном значении длины погруженной части $x_{cr}$, которое является решением этого квадратного уравнения.

Когда мы поднимаем сосуд дальше, после того как равновесие стало неустойчивым, палочка отклоняется. Чтобы она оставалась в равновесии, длина ее погруженной части должна сохранять это критическое значение $x_{cr}$. Увеличение уровня воды компенсируется увеличением угла отклонения $\theta$, так что нижний конец палочки оказывается на нужной глубине для поддержания постоянной длины погруженной части $x_{cr}$.

Ответ: Условие равновесия для отклоненной палочки не зависит от угла отклонения, а определяет единственное возможное значение длины погруженной части. Поэтому при дальнейшем подъеме сосуда палочка будет увеличивать угол своего отклонения, сохраняя длину погруженной части постоянной для поддержания равновесия.

Какова плотность ρ палочки, если в воде находится четверть ее длины?

Дано

$x = \frac{L}{4}$
$\rho_w = 1000 \text{ кг/м}^3$

Найти:

$\rho$

Решение

Используем выведенное выше уравнение равновесия для момента, когда палочка теряет устойчивость или находится в равновесии в отклоненном состоянии. Длина погруженной части в этот момент составляет $x = L/4$.

$\rho \frac{L^2}{2} = \rho_w x (L - \frac{x}{2})$

Подставим значение $x = L/4$ в это уравнение:

$\rho \frac{L^2}{2} = \rho_w \frac{L}{4} (L - \frac{L/4}{2})$

$\rho \frac{L^2}{2} = \rho_w \frac{L}{4} (L - \frac{L}{8})$

$\rho \frac{L^2}{2} = \rho_w \frac{L}{4} (\frac{8L - L}{8})$

$\rho \frac{L^2}{2} = \rho_w \frac{L}{4} \cdot \frac{7L}{8}$

$\rho \frac{L^2}{2} = \rho_w \frac{7L^2}{32}$

Сократим обе части уравнения на $L^2$:

$\frac{\rho}{2} = \frac{7\rho_w}{32}$

Выразим плотность палочки $\rho$:

$\rho = \frac{14\rho_w}{32} = \frac{7}{16}\rho_w$

Теперь вычислим численное значение, приняв плотность воды $\rho_w = 1000 \text{ кг/м}^3$:

$\rho = \frac{7}{16} \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 = 437.5 \text{ кг/м}^3$

Ответ: $\rho = \frac{7}{16}\rho_w = 437.5 \text{ кг/м}^3$.