Номер 8.34, страница 48 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.34, страница 48.

Условие.

8.34**. Быстро вращающийся вокруг горизонтальной оси цилиндр налетает на горизонтальную поверхность и отскакивает от нее вертикально вверх (см. рисунок). Цилиндр и поверхность изготовлены из упругих материалов. В какую сторону вращается цилиндр? Чему равен коэффициент трения $\mu$ между цилиндром и поверхностью? В каком направлении отлетел бы цилиндр, если бы он вращался в противоположную сторону?

Решение.

Решение 2.

В какую сторону вращается цилиндр?

Согласно рисунку, цилиндр подлетает к поверхности, имея горизонтальную составляющую скорости, направленную вправо. После отскока цилиндр движется строго вертикально вверх, то есть его горизонтальная составляющая скорости становится равной нулю. Такое изменение горизонтального импульса может быть вызвано только горизонтальной силой, действующей на цилиндр со стороны поверхности в момент удара. Этой силой является сила трения.

Чтобы погасить горизонтальную скорость, направленную вправо, сила трения должна быть направлена влево. Сила трения скольжения всегда направлена противоположно направлению относительной скорости точки касания. Следовательно, в момент удара точка на поверхности цилиндра, соприкасающаяся с горизонтальной поверхностью, должна проскальзывать вправо.

Скорость точки касания цилиндра складывается из скорости центра масс цилиндра и линейной скорости вращения этой точки вокруг центра масс. Горизонтальная скорость центра масс направлена вправо. Чтобы суммарная скорость точки касания была также направлена вправо (и создавала проскальзывание вправо), скорость вращения в этой точке тоже должна быть направлена вправо. Такое направление линейной скорости в нижней точке цилиндра соответствует его вращению по часовой стрелке (если смотреть на рисунок). Такое вращение называют обратным (backspin).

Ответ: Цилиндр вращается по часовой стрелке.

Чему равен коэффициент трения μ между цилиндром и поверхностью?

Дано:

Угол падения центра масс цилиндра (отсчитывается от нормали к поверхности): $\alpha$

Удар абсолютно упругий.

Конечная скорость направлена вертикально вверх.

Найти:

Коэффициент трения $\mu$.

Решение:

Введем систему координат: ось Ox направим горизонтально вправо, а ось Oy – вертикально вверх. Пусть $v_1$ – модуль скорости цилиндра до удара, а $v_2$ – после удара.

Компоненты скорости до удара: $v_{1x} = v_1 \sin{\alpha}$ $v_{1y} = -v_1 \cos{\alpha}$

Компоненты скорости после удара (по условию, отскок вертикальный): $v_{2x} = 0$ $v_{2y} = v_2$

Запишем закон изменения импульса в проекциях на оси координат. Пусть $P_x$ и $P_y$ – импульсы силы трения и нормальной силы реакции опоры соответственно.

На ось Ox: $\Delta p_x = P_x \implies m(v_{2x} - v_{1x}) = P_x$ $m(0 - v_1 \sin{\alpha}) = P_x \implies P_x = -m v_1 \sin{\alpha}$ Модуль импульса силы трения: $|P_x| = m v_1 \sin{\alpha}$

На ось Oy: $\Delta p_y = P_y \implies m(v_{2y} - v_{1y}) = P_y$ $m(v_2 - (-v_1 \cos{\alpha})) = P_y \implies P_y = m(v_2 + v_1 \cos{\alpha})$

Поскольку по условию материалы упругие, удар можно считать абсолютно упругим в направлении, перпендикулярном поверхности. Это означает, что нормальная составляющая скорости меняет знак, сохраняя модуль: $v_{2y} = -v_{1y} = v_1 \cos{\alpha}$.

Тогда импульс нормальной силы равен: $P_y = m(v_1 \cos{\alpha} + v_1 \cos{\alpha}) = 2 m v_1 \cos{\alpha}$

Во время удара происходит скольжение, поэтому сила трения является силой трения скольжения, и ее модуль связан с модулем нормальной силы реакции опоры: $F_{тр} = \mu N$. Так как коэффициент трения $\mu$ постоянен, то и для импульсов этих сил будет выполняться аналогичное соотношение: $|P_x| = \mu P_y$.

Подставим найденные выражения для $|P_x|$ и $P_y$: $m v_1 \sin{\alpha} = \mu (2 m v_1 \cos{\alpha})$

Сокращая на $m v_1$ (так как $v_1 \ne 0$), получаем: $\sin{\alpha} = 2\mu \cos{\alpha}$

Отсюда находим коэффициент трения $\mu$: $\mu = \frac{\sin{\alpha}}{2\cos{\alpha}} = \frac{1}{2}\tan{\alpha}$

Ответ: Коэффициент трения $\mu = \frac{1}{2}\tan{\alpha}$.

В каком направлении отлетел бы цилиндр, если бы он вращался в противоположную сторону?

Если бы цилиндр вращался в противоположную сторону, то есть против часовой стрелки (прямое вращение или topspin), то линейная скорость его нижней точки, обусловленная вращением, была бы направлена влево.

В условии сказано, что цилиндр "быстро вращающийся". Это означает, что линейная скорость вращения точки касания $(\omega R)$ превышает по модулю горизонтальную скорость центра масс $(v_{1x})$.

Скорость проскальзывания точки касания относительно поверхности равна $v_{slip} = v_{1x} - \omega R$. Так как $\omega R > v_{1x}$, то $v_{slip} < 0$, то есть проскальзывание происходит влево.

Сила трения скольжения направлена противоположно проскальзыванию, то есть будет направлена вправо.

Эта сила трения создаст импульс, направленный вправо, который не погасит, а наоборот, увеличит начальную горизонтальную скорость цилиндра, направленную вправо. Вертикальная составляющая скорости, как и ранее, изменит свое направление на противоположное из-за упругого удара.

В результате цилиндр отскочит от поверхности, имея и вертикальную (вверх), и горизонтальную (вправо) составляющие скорости.

Ответ: Цилиндр отлетел бы вверх и вправо.