Номер 9.4, страница 49 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.4, страница 49.

Условие.

9.4. Кристаллы поваренной соли NaCl имеют кубическую решетку, которая состоит из чередующихся ионов натрия и хлора (см. рисунок). Найдите расстояние $\text{a}$ между центрами ближайших ионов. Плотность соли $\rho = 2200 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Решение 2.

Дано

Кристаллическая решетка NaCl - кубическая

Плотность соли: $ρ = 2200 \text{ кг/м}^3$

Молярная масса натрия: $M_{Na} \approx 23 \text{ г/моль}$

Молярная масса хлора: $M_{Cl} \approx 35.5 \text{ г/моль}$

Число Авогадро: $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Перевод в систему СИ:

Молярная масса NaCl: $M_{NaCl} = M_{Na} + M_{Cl} = 23 + 35.5 = 58.5 \text{ г/моль} = 0.0585 \text{ кг/моль}$

Найти:

Расстояние между центрами ближайших ионов: $a - ?$

Решение

Кристаллическая решетка поваренной соли NaCl представляет собой две вставленные друг в друга гранецентрированные кубические (ГЦК) решетки, одна из ионов натрия (Na⁺), другая из ионов хлора (Cl⁻). Элементарная ячейка такой структуры представляет собой куб. Пусть ребро этого куба (постоянная решетки) равно $\text{L}$.

Как видно из рисунка и строения решетки, расстояние $\text{a}$ между центрами ближайших разноименных ионов равно половине длины ребра элементарной ячейки:

$a = \frac{L}{2}$, откуда $L = 2a$.

Объем элементарной ячейки равен:

$V = L^3 = (2a)^3 = 8a^3$.

Определим массу вещества, приходящуюся на одну элементарную ячейку. В ГЦК решетке на одну ячейку приходится 4 атома (или иона). Так как решетка NaCl состоит из двух таких подрешеток, то в одной элементарной ячейке содержится 4 иона Na⁺ и 4 иона Cl⁻, то есть 4 формульные единицы NaCl.

Масса одной формульной единицы NaCl ($m_0$) определяется через молярную массу $M_{NaCl}$ и число Авогадро $N_A$:

$m_0 = \frac{M_{NaCl}}{N_A}$.

Тогда масса всей элементарной ячейки $\text{m}$ равна:

$m = 4 \cdot m_0 = \frac{4 \cdot M_{NaCl}}{N_A}$.

Плотность вещества по определению есть отношение массы к объему. Применительно к элементарной ячейке:

$ρ = \frac{m}{V} = \frac{4 \cdot M_{NaCl} / N_A}{8a^3} = \frac{M_{NaCl}}{2 \cdot a^3 \cdot N_A}$.

Из этой формулы выразим искомое расстояние $\text{a}$:

$a^3 = \frac{M_{NaCl}}{2 \cdot ρ \cdot N_A}$

$a = \sqrt[3]{\frac{M_{NaCl}}{2 \cdot ρ \cdot N_A}}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$a = \sqrt[3]{\frac{0.0585 \text{ кг/моль}}{2 \cdot 2200 \text{ кг/м}^3 \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}} = \sqrt[3]{\frac{0.0585}{4400 \cdot 6.022 \cdot 10^{23}}} \text{ м}$

$a = \sqrt[3]{\frac{0.0585}{2.64968 \cdot 10^{27}}} \text{ м} = \sqrt[3]{2.208 \cdot 10^{-29}} \text{ м}$

Для удобства извлечения корня представим число как $22.08 \cdot 10^{-30}$:

$a = \sqrt[3]{22.08 \cdot 10^{-30}} \text{ м} \approx 2.805 \cdot 10^{-10} \text{ м}$.

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью плотности), получаем:

$a \approx 2.8 \cdot 10^{-10} \text{ м}$.

Ответ: $a \approx 2.8 \cdot 10^{-10} \text{ м}$.