Номер 8.35, страница 48 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.35, страница 48.

Условие.

8.35*. Из-за торможения спутника в атмосфере высота его орбиты уменьшается. Как изменяется при этом скорость спутника? Как согласуется это изменение с законом сохранения энергии?

Решение.

Решение 2.

Как изменяется при этом скорость спутника?

При движении спутника по круговой орбите сила всемирного тяготения является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{ц} = F_{т}$

$\frac{mv^2}{r} = G\frac{Mm}{r^2}$

где $\text{m}$ – масса спутника, $\text{v}$ – его орбитальная скорость, $\text{r}$ – радиус орбиты (расстояние от центра планеты), $\text{M}$ – масса планеты, $\text{G}$ – гравитационная постоянная.

Из этого уравнения можно выразить скорость спутника:

$v^2 = \frac{GM}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

В условии задачи сказано, что высота орбиты спутника уменьшается из-за торможения в атмосфере. Уменьшение высоты означает уменьшение радиуса орбиты $\text{r}$. Из формулы видно, что скорость $\text{v}$ обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса $\text{r}$. Следовательно, при уменьшении радиуса орбиты скорость спутника будет увеличиваться.

Этот, на первый взгляд, парадоксальный эффект (торможение приводит к ускорению) объясняется тем, что сила трения, совершая отрицательную работу, заставляет спутник переходить на более низкую орбиту, где для стабильного движения требуется большая скорость.

Ответ: Скорость спутника увеличивается.

Как согласуется это изменение с законом сохранения энергии?

Закон сохранения механической энергии справедлив для систем, в которых действуют только консервативные силы (например, сила тяжести). В данном случае на спутник действует сила сопротивления атмосферы, которая является неконсервативной (диссипативной) силой. Эта сила совершает отрицательную работу, в результате чего полная механическая энергия спутника не сохраняется, а уменьшается, переходя в тепловую энергию.

Полная механическая энергия спутника $\text{E}$ на орбите равна сумме его кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий.

Кинетическая энергия: $E_k = \frac{1}{2}mv^2$. Подставив выражение для $v^2$ из первого пункта, получим:

$E_k = \frac{1}{2}m\left(\frac{GM}{r}\right) = \frac{GMm}{2r}$

Потенциальная энергия спутника в гравитационном поле (считая ее равной нулю на бесконечности):

$E_p = -G\frac{Mm}{r}$

Полная механическая энергия спутника:

$E = E_k + E_p = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$

Проанализируем, как изменяются эти величины при уменьшении радиуса орбиты $\text{r}$:

• Кинетическая энергия $E_k = \frac{GMm}{2r}$ увеличивается, так как знаменатель $\text{r}$ уменьшается. Это соответствует увеличению скорости.
• Потенциальная энергия $E_p = -G\frac{Mm}{r}$ уменьшается (становится более отрицательной).
• Полная механическая энергия $E = -\frac{GMm}{2r}$ также уменьшается (становится более отрицательной). Это полностью согласуется с тем, что сила трения совершает отрицательную работу и отбирает энергию у системы.

Таким образом, противоречия с законом сохранения энергии нет. Уменьшение потенциальной энергии при снижении спутника преобразуется как в увеличение его кинетической энергии (спутник ускоряется), так и в тепловую энергию, которая выделяется из-за работы силы трения. Можно показать, что уменьшение потенциальной энергии ровно в два раза больше, чем увеличение кинетической. Половина потерянной потенциальной энергии идет на увеличение кинетической, а вторая половина рассеивается в виде тепла.

Ответ: Увеличение скорости спутника не противоречит закону сохранения энергии. Система не является замкнутой из-за действия неконсервативной силы трения об атмосферу. Полная механическая энергия спутника уменьшается, и эта убыль энергии переходит в тепло. При этом уменьшение потенциальной энергии спутника оказывается больше, чем увеличение его кинетической энергии, что и обеспечивает общую потерю механической энергии.