Номер 8.32, страница 48 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.32, страница 48.

Условие.

8.32* Однородный брусок квадратного сечения может вращаться с малым трением вокруг оси O, совпадающей с его осью симметрии и закрепленной горизонтально на уровне поверхности воды (см. рисунок). Какое положение бруска устойчиво?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Однородный брусок квадратного сечения.

Ось вращения O совпадает с осью симметрии бруска.

Ось O закреплена горизонтально на уровне поверхности воды.

Найти:

Устойчивое положение бруска.

Решение:

На брусок, находящийся в жидкости, действуют две основные силы: сила тяжести $F_g$, направленная вертикально вниз, и выталкивающая (архимедова) сила $F_A$, направленная вертикально вверх.

Поскольку брусок однородный, его центр масс (ЦМ) совпадает с геометрическим центром – точкой O, через которую проходит ось вращения. Сила тяжести $F_g$ приложена к центру масс, поэтому ее плечо относительно оси вращения O равно нулю, и она не создает вращающего момента.

Следовательно, вращательное движение бруска определяется только моментом архимедовой силы. Положение равновесия является устойчивым, если при малом отклонении от этого положения возникает возвращающий момент, стремящийся вернуть тело в исходное состояние. Это соответствует положению с минимальной потенциальной энергией системы.

Потенциальная энергия силы тяжести бруска $U_g$ постоянна, так как его центр масс закреплен на оси O и не меняет своей высоты. Таким образом, для определения устойчивости нужно проанализировать потенциальную энергию, связанную с действием архимедовой силы. Эта энергия будет минимальна, когда центр плавучести (ЦП) — центр масс вытесненного объема жидкости — будет находиться в самом низком возможном положении.

Так как ось вращения O находится на поверхности воды и проходит через центр симметрии квадратного сечения, то при любом угле поворота бруска погруженная часть его объема (и, соответственно, площадь поперечного сечения $S_{sub}$) остается постоянной и равной половине полного объема (и площади). Пусть сторона квадрата равна $\text{a}$, тогда $S_{sub} = a^2/2$.

Задача сводится к тому, чтобы найти такое положение бруска, при котором глубина залегания центра плавучести $h_{ЦП}$ максимальна.

Рассмотрим два симметричных положения равновесия, в которых момент архимедовой силы равен нулю (т.е. ЦП лежит на одной вертикали с точкой O).

1. Положение, когда сторона квадрата параллельна поверхности воды.

В этом случае погруженная часть сечения представляет собой прямоугольник со сторонами $\text{a}$ и $a/2$. Центр плавучести находится в геометрическом центре этого прямоугольника, то есть на глубине:

$h_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{4}$

2. Положение, когда диагональ квадрата параллельна поверхности воды (как показано на рисунке).

В этом случае погруженная часть сечения представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник. Его основание лежит на поверхности воды и равно диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$. Высота этого треугольника равна половине второй диагонали, то есть $h_{тр} = d/2 = a\sqrt{2}/2$. Центр тяжести треугольника находится на расстоянии $1/3$ высоты от основания. Таким образом, глубина центра плавучести в этом случае равна:

$h_2 = \frac{1}{3} h_{тр} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{6}$

Теперь сравним полученные глубины:

$h_1 = \frac{a}{4} = 0.25a$

$h_2 = \frac{a\sqrt{2}}{6} \approx \frac{1.414a}{6} \approx 0.236a$

Поскольку $h_1 > h_2$, центр плавучести находится глубже (ниже), когда сторона бруска горизонтальна. Это положение соответствует минимуму потенциальной энергии системы.

Следовательно, положение, в котором сторона бруска параллельна поверхности воды, является устойчивым.

Ответ: Устойчивым является положение, при котором одна из граней бруска (сторона его квадратного сечения) параллельна поверхности воды.