Номер 8.27, страница 47 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.27, страница 47.

Условие.

8.27*. Оцените, какой радиус R должна иметь малая планета с плотностью Земли, чтобы спортсмен, подпрыгнув, мог улететь сколь угодно далеко от этой планеты.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Плотность малой планеты равна плотности Земли: $ \rho = \rho_{Земли} $.

Справочные величины в системе СИ:

Средняя плотность Земли: $ \rho_{Земли} \approx 5515 \, \text{кг/м}^3 $.

Гравитационная постоянная: $ G \approx 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 $.

Ускорение свободного падения на Земле: $ g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 $.

Найти:

Радиус планеты $ R $.

Решение:

Чтобы спортсмен мог улететь сколь угодно далеко от планеты, его начальная скорость после прыжка $ v_{прыжка} $ должна быть не меньше второй космической скорости (скорости убегания) $ v_2 $ для этой планеты. Для оценки максимального радиуса планеты, при котором это возможно, примем, что скорость прыжка равна второй космической скорости:

$ v_{прыжка} = v_2 $

Сначала оценим скорость, которую может развить спортсмен при прыжке. При прыжке на Земле начальная кинетическая энергия спортсмена $ E_к = \frac{1}{2}mv_{прыжка}^2 $ переходит в потенциальную энергию $ E_п = mgh $, где $ h $ — высота, на которую поднимается его центр масс. Предположим, что хорошо тренированный спортсмен может поднять свой центр масс на высоту $ h \approx 1.25 \, \text{м} $ (это соответствует мировым рекордам по прыжкам в высоту с места). Тогда его начальная скорость равна:

$ v_{прыжка} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1.25 \, \text{м}} = \sqrt{24.5} \, \text{м/с} \approx 4.95 \, \text{м/с} $

Вторая космическая скорость для сферической планеты радиусом $ R $ и массой $ M $ определяется формулой:

$ v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} $

Массу планеты $ M $ можно выразить через ее плотность $ \rho $ и объем $ V = \frac{4}{3}\pi R^3 $:

$ M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3 $

Подставим выражение для массы в формулу для второй космической скорости:

$ v_2 = \sqrt{\frac{2G(\rho \frac{4}{3}\pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{8\pi G \rho R^2}{3}} = R \sqrt{\frac{8\pi G \rho}{3}} $

Теперь приравняем скорость прыжка и вторую космическую скорость, чтобы найти искомый радиус $ R $:

$ v_{прыжка} = R \sqrt{\frac{8\pi G \rho}{3}} $

Отсюда выражаем $ R $:

$ R = v_{прыжка} \sqrt{\frac{3}{8\pi G \rho}} $

Подставим числовые значения, учитывая, что $ \rho = \rho_{Земли} $:

$ R = 4.95 \, \text{м/с} \cdot \sqrt{\frac{3}{8 \pi (6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2) \cdot (5515 \, \text{кг/м}^3)}} $

$ R \approx 4.95 \cdot \sqrt{\frac{3}{8 \cdot 3.1416 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 5515}} \, \text{м} $

$ R \approx 4.95 \cdot \sqrt{\frac{3}{9.22 \cdot 10^{-6}}} \, \text{м} \approx 4.95 \cdot \sqrt{3.25 \cdot 10^5} \, \text{м} $

$ R \approx 4.95 \cdot 570 \, \text{м} \approx 2820 \, \text{м} \approx 2.8 \, \text{км} $

Таким образом, радиус малой планеты, с которой тренированный спортсмен мог бы "упрыгнуть" в космос, должен быть порядка 3 км.

Ответ: Радиус малой планеты должен быть примерно $ R \approx 2.8 \, \text{км} $.