Номер 8.22, страница 46 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.22, страница 46.

Условие.

8.22** Санки скатываются без начальной скорости из точки $\text{A}$ (см. рисунок). Наклон горы изменяется плавно: радиус кривизны всюду намного превышает высоту $\text{h}$. Коэффициент трения $\mu = 0,2$. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Найдите графически точку остановки.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость санок $v_0 = 0$

Начальная высота $\text{h}$

Коэффициент трения $\mu = 0.2$

Найти:

Графически определить точку остановки санок.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом изменения механической энергии. Изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил. В данном случае единственной неконсервативной силой, совершающей работу, является сила трения.

$A_{тр} = \Delta E = E_{кон} - E_{нач}$

Введем систему координат, в которой ось Y направлена вертикально вверх, а ось X — горизонтально. Начало отсчета по оси X поместим на одной вертикали с точкой старта A. Нулевой уровень потенциальной энергии ($y=0$) выберем на уровне самой нижней точки траектории. Тогда начальная точка A имеет координаты $(0, h)$.

Начальная механическая энергия санок в точке A, где скорость $v_0=0$:

$E_{нач} = E_{п, нач} + E_{к, нач} = mgh + \frac{m v_0^2}{2} = mgh$

Пусть санки останавливаются в некоторой точке B с координатами $(x, y)$. В этой точке конечная скорость $v = 0$. Конечная механическая энергия санок будет равна:

$E_{кон} = E_{п, кон} + E_{к, кон} = mgy + \frac{m v^2}{2} = mgy$

Работа силы трения $A_{тр}$ на пути от A до B отрицательна и равна:

$A_{тр} = - \int_A^B F_{тр} ds$

Сила трения определяется как $F_{тр} = \mu N$, где $\text{N}$ — сила нормальной реакции опоры. На небольшом участке траектории, наклоненном под углом $\alpha$ к горизонту, сила нормальной реакции $\text{N}$ уравновешивает компоненту силы тяжести, перпендикулярную поверхности, $mg\cos\alpha$. Условие, что радиус кривизны всюду намного превышает высоту $\text{h}$, позволяет пренебречь центростремительным ускорением, поэтому можно считать $N \approx mg\cos\alpha$.

Тогда работа силы трения:

$A_{тр} = - \int_A^B \mu (mg \cos\alpha) ds$

Произведение $ds \cdot \cos\alpha$ представляет собой проекцию элементарного перемещения $\text{ds}$ на горизонтальную ось, то есть $\text{dx}$. Следовательно, интеграл можно переписать как:

$A_{тр} = - \int_0^x \mu mg dx = - \mu mg x$

Теперь подставим все найденные величины в закон изменения энергии:

$-\mu mgx = mgy - mgh$

Сократим обе части уравнения на $\text{mg}$ (масса и ускорение свободного падения не равны нулю):

$-\mu x = y - h$

Выразим отсюда конечную высоту $\text{y}$ через горизонтальное смещение $\text{x}$:

$y = h - \mu x$

Это уравнение прямой линии на плоскости $(x, y)$. Точка остановки санок должна одновременно принадлежать как профилю горы, так и этой прямой. Следовательно, искомая точка является точкой пересечения графика профиля горы и прямой $y = h - \mu x$.

Для графического построения этой прямой найдем две точки, через которые она проходит:

1. При $x = 0$, $y = h$. Это начальная точка A $(0, h)$.

2. Найдем точку пересечения прямой с горизонтальной осью X, то есть при $y = 0$:

$0 = h - \mu x \implies \mu x = h \implies x = \frac{h}{\mu}$

Подставим заданное значение коэффициента трения $\mu = 0.2$:

$x = \frac{h}{0.2} = 5h$

Следовательно, вторая точка C для построения прямой имеет координаты $(5h, 0)$.

Таким образом, для графического нахождения точки остановки необходимо на чертеже соединить прямой линией точку старта A и точку C, расположенную на горизонтальной оси на расстоянии $\text{5h}$ от вертикали, проходящей через точку А. Точка пересечения этой прямой с профилем траектории и будет искомой точкой остановки.

Ответ:

Точка остановки находится как точка пересечения профиля горы с прямой линией, проведенной через начальную точку А (с координатами $(0, h)$) и точку на горизонтальной оси с координатой $x = h/\mu = 5h$.