Номер 8.15, страница 45 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.15, страница 45.

Условие.

8.15*. Небольшое тело соскальзывает без трения с наклонной плоскости, переходящей в «мертвую петлю» радиусом $\text{R}$ (см. рисунок). С какой минимальной высоты $\text{H}$ должно начинаться движение, чтобы тело прошло «мертвую петлю», не отрываясь от нее?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус петли: $\text{R}$
Начальная скорость тела: $v_0 = 0$
Трение отсутствует.

Найти:

Минимальную высоту $H_{min}$, с которой должно начинаться движение.

Решение:
Чтобы тело прошло «мертвую петлю», не отрываясь от нее, сила реакции опоры $\text{N}$ должна быть неотрицательной ($N \ge 0$) в любой точке траектории. Самой критической является верхняя точка петли, так как здесь скорость тела минимальна на всей траектории внутри петли, и сила тяжести максимально помогает центростремительному ускорению. Если тело пройдет эту точку, то пройдет и всю петлю.

Запишем второй закон Ньютона для тела в верхней точке петли. На тело действуют сила тяжести $\text{mg}$ и сила реакции опоры $\text{N}$, обе направлены вертикально вниз, к центру петли. Их сумма сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$:
$mg + N = m\frac{v^2}{R}$
где $\text{v}$ – скорость тела в верхней точке петли.

Условие неотрыва тела от поверхности $N \ge 0$. Минимальная высота $\text{H}$ соответствует минимальной скорости в верхней точке $v_{min}$, при которой тело еще не отрывается. Это предельный случай, когда сила реакции опоры обращается в ноль ($N = 0$). В этот момент только сила тяжести обеспечивает центростремительное ускорение.
$mg = m\frac{v_{min}^2}{R}$
Отсюда находим квадрат минимально необходимой скорости в верхней точке:
$v_{min}^2 = gR$

Так как по условию трение отсутствует, полная механическая энергия системы «тело-Земля» сохраняется. Применим закон сохранения энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем самую нижнюю точку траектории.

1. Начальное состояние: тело на высоте $\text{H}$, скорость равна нулю.
Полная энергия $E_1 = E_{p1} + E_{k1} = mgH + 0 = mgH$.

2. Конечное состояние: тело в верхней точке петли на высоте $\text{2R}$, движется со скоростью $\text{v}$.
Полная энергия $E_2 = E_{p2} + E_{k2} = mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2$.

Согласно закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:
$mgH = mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2$

Для нахождения минимальной высоты $H_{min}$ подставим в это уравнение найденное значение квадрата минимальной скорости $v^2 = v_{min}^2 = gR$:
$mgH_{min} = mg(2R) + \frac{1}{2}m(gR)$

Разделим все члены уравнения на $\text{mg}$ (масса и ускорение свободного падения не равны нулю):
$H_{min} = 2R + \frac{1}{2}R$
$H_{min} = \frac{5}{2}R = 2.5R$

Ответ: Минимальная высота, с которой должно начинаться движение, чтобы тело прошло «мертвую петлю», не отрываясь от нее, равна $H = 2.5R$.