Номер 8.16, страница 45 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.16, страница 45.

Условие.

8.16**. Обруч скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости высотой $\text{h}$ и длиной $\text{l}$. Какова скорость $\text{v}$ центра обруча в конце скатывания?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$\text{h}$ - высота наклонной плоскости

$\text{l}$ - длина наклонной плоскости

Найти:

$\text{v}$ - скорость центра обруча в конце скатывания.

Решение:

Воспользуемся законом сохранения механической энергии, так как обруч скатывается без проскальзывания, и работа силы трения покоя равна нулю. Полная механическая энергия системы "обруч-Земля" сохраняется.

В начальный момент времени, на вершине наклонной плоскости, обруч находится на высоте $\text{h}$ и покоится. Его полная механическая энергия $E_1$ состоит только из потенциальной энергии:

$E_1 = E_p = mgh$

где $\text{m}$ - масса обруча, а $\text{g}$ - ускорение свободного падения.

В конечный момент времени, у основания наклонной плоскости, высота обруча равна нулю ($h=0$), поэтому его потенциальная энергия равна нулю. Полная механическая энергия $E_2$ состоит из суммы кинетической энергии поступательного движения центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг центра масс:

$E_2 = E_{k_{пост}} + E_{k_{вращ}} = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2}$

Здесь $\text{v}$ - искомая скорость центра масс, $\text{I}$ - момент инерции обруча, $\omega$ - его угловая скорость.

Момент инерции обруча (рассматриваемого как тонкое кольцо) относительно оси, проходящей через его центр, равен:

$I = mR^2$

где $\text{R}$ - радиус обруча.

Условие скатывания без проскальзывания связывает линейную скорость центра масс $\text{v}$ и угловую скорость $\omega$ соотношением:

$v = \omega R$, откуда $\omega = \frac{v}{R}$

Подставим выражения для $\text{I}$ и $\omega$ в формулу для конечной энергии $E_2$:

$E_2 = \frac{mv^2}{2} + \frac{(mR^2)(\frac{v}{R})^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mR^2 \cdot v^2}{2R^2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgh = mv^2$

Масса $\text{m}$ сокращается, и мы получаем выражение для квадрата скорости:

$v^2 = gh$

Отсюда находим скорость центра обруча:

$v = \sqrt{gh}$

Обратим внимание, что длина наклонной плоскости $\text{l}$ не вошла в конечное выражение и является избыточным данным.

Ответ: Скорость центра обруча в конце скатывания равна $v = \sqrt{gh}$.