Номер 8.9, страница 44 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.9, страница 44.

Условие.

8.9*. Каковы ускорения грузов показанной на рисунке системы? Участки нити, не соприкасающиеся с блоками, вертикальны.

К задаче 8.9

Решение.

Решение 2.

Дано:

Массы грузов: $m_1$, $m_2$, $m_3$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Ускорения грузов: $a_1$, $a_2$, $a_3$

Решение:

Введём систему координат с осью OY, направленной вертикально вниз. Пусть $y_1, y_2, y_3$ – координаты грузов $m_1, m_2, m_3$ соответственно. В системе используется одна нерастяжимая и невесомая нить, поэтому её общая длина $\text{L}$ постоянна. Выразим длину нити через координаты грузов, учитывая, что груз $m_2$ подвешен к подвижному блоку, а грузы $m_1$ и $m_3$ – к концам нити, перекинутой через два неподвижных и один подвижный блок.

Длина нити (без учёта постоянных участков на блоках) выражается как: $L = y_1 + 2y_2 + y_3$.

Поскольку длина нити не меняется со временем ($L = const$), её вторая производная по времени равна нулю. Продифференцировав это уравнение дважды по времени, получим кинематическую связь между ускорениями грузов (проекциями ускорений на ось OY):

$\frac{d^2L}{dt^2} = \frac{d^2y_1}{dt^2} + 2\frac{d^2y_2}{dt^2} + \frac{d^2y_3}{dt^2} = 0$

$a_1 + 2a_2 + a_3 = 0$ (1)

Теперь запишем уравнения движения для каждого груза, используя второй закон Ньютона. Пусть $\text{T}$ – сила натяжения нити. Так как нить невесома и трение в блоках отсутствует, сила натяжения одинакова по всей длине нити.

Для груза $m_1$:

$m_1 a_1 = m_1 g - T$ (2)

Для груза $m_2$ (вместе с невесомым подвижным блоком): на него действует сила тяжести $m_2g$ и две силы натяжения нити $\text{2T}$, направленные вверх.

$m_2 a_2 = m_2 g - 2T$ (3)

Для груза $m_3$:

$m_3 a_3 = m_3 g - T$ (4)

Мы получили систему из четырех уравнений (1), (2), (3), (4) для четырех неизвестных: $a_1, a_2, a_3$ и $\text{T}$.

Из уравнений (2), (3) и (4) выразим ускорения через силу натяжения $\text{T}$:

$a_1 = g - \frac{T}{m_1}$

$a_2 = g - \frac{2T}{m_2}$

$a_3 = g - \frac{T}{m_3}$

Подставим эти выражения в уравнение кинематической связи (1):

$(g - \frac{T}{m_1}) + 2(g - \frac{2T}{m_2}) + (g - \frac{T}{m_3}) = 0$

$4g - T(\frac{1}{m_1} + \frac{4}{m_2} + \frac{1}{m_3}) = 0$

Отсюда найдем силу натяжения нити $\text{T}$:

$T(\frac{m_2 m_3 + 4m_1 m_3 + m_1 m_2}{m_1 m_2 m_3}) = 4g$

$T = \frac{4g m_1 m_2 m_3}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3}$

Теперь подставим найденное значение $\text{T}$ в выражения для ускорений.

Ускорение груза $m_1$:

$a_1 = g - \frac{T}{m_1} = g - \frac{1}{m_1} \frac{4g m_1 m_2 m_3}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3} = g (1 - \frac{4 m_2 m_3}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3})$

$a_1 = g \frac{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3 - 4m_2 m_3}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3} = g \frac{m_1 m_2 + 4m_1 m_3 - 3m_2 m_3}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3}$

Ускорение груза $m_2$:

$a_2 = g - \frac{2T}{m_2} = g - \frac{2}{m_2} \frac{4g m_1 m_2 m_3}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3} = g (1 - \frac{8 m_1 m_3}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3})$

$a_2 = g \frac{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3 - 8m_1 m_3}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3} = g \frac{m_1 m_2 + m_2 m_3 - 4m_1 m_3}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3}$

Ускорение груза $m_3$:

$a_3 = g - \frac{T}{m_3} = g - \frac{1}{m_3} \frac{4g m_1 m_2 m_3}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3} = g (1 - \frac{4 m_1 m_2}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3})$

$a_3 = g \frac{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3 - 4m_1 m_2}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3} = g \frac{m_2 m_3 + 4m_1 m_3 - 3m_1 m_2}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3}$

Полученные выражения представляют собой проекции ускорений на ось, направленную вниз. Знак результата определяет направление движения: положительное значение означает движение вниз, отрицательное — вверх.

Ответ:

Ускорения грузов (в проекции на вертикальную ось, направленную вниз) равны:

$a_1 = g \frac{m_1 m_2 + 4m_1 m_3 - 3m_2 m_3}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3}$

$a_2 = g \frac{m_1 m_2 + m_2 m_3 - 4m_1 m_3}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3}$

$a_3 = g \frac{m_2 m_3 + 4m_1 m_3 - 3m_1 m_2}{m_1 m_2 + m_2 m_3 + 4m_1 m_3}$