Номер 8.7, страница 43 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.7, страница 43.

Условие.

8.7*. В верхней точке траектории на высоте $H = 2 \text{ км}$ снаряд разорвался на два одинаковых осколка. Один из них вернулся точно назад и попал обратно в жерло пушки, а второй упал на расстоянии $s = 8 \text{ км}$ от пушки. Какой была начальная скорость снаряда $v_0$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Высота разрыва снаряда $H = 2$ км
Расстояние падения второго осколка от пушки $s = 8$ км
Снаряд разорвался на два одинаковых по массе осколка ($m_1=m_2$).

$H = 2 \cdot 10^3 \text{ м} = 2000 \text{ м}$
$s = 8 \cdot 10^3 \text{ м} = 8000 \text{ м}$

Найти:

Начальная скорость снаряда $v_0$.

Решение:

Взрыв снаряда происходит в верхней точке траектории под действием внутренних сил. В этом случае движение центра масс (ЦМ) системы осколков не изменяется. Это означает, что ЦМ осколков продолжает двигаться по той же параболической траектории, по которой двигался бы целый снаряд, если бы взрыва не произошло.

Пусть пушка находится в начале координат ($x=0, y=0$). Первый осколок, по условию, упал обратно в жерло пушки, то есть в точку с координатой $x_1 = 0$. Второй осколок упал на расстоянии $\text{s}$ от пушки, то есть в точке с координатой $x_2 = s$.

Поскольку осколки имеют одинаковую массу ($m_1 = m_2 = m$), координата их центра масс в момент падения на землю будет равна дальности полета $\text{R}$ неразорвавшегося снаряда. Найдем эту координату:

$R = x_{ЦМ} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{m \cdot 0 + m \cdot s}{m + m} = \frac{ms}{2m} = \frac{s}{2}$

Подставим числовые значения:

$R = \frac{8000 \text{ м}}{2} = 4000 \text{ м}$

Таким образом, для гипотетического неразорвавшегося снаряда мы знаем максимальную высоту подъема $H=2000$ м и дальность полета $R=4000$ м. Запишем формулы, связывающие эти величины с начальной скоростью $v_0$ и углом броска $\alpha$ к горизонту:

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{2v_0^2 \sin\alpha \cos\alpha}{g}$

Чтобы найти угол броска $\alpha$, разделим уравнение для высоты на уравнение для дальности:

$\frac{H}{R} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha / (2g)}{2v_0^2 \sin\alpha \cos\alpha / g} = \frac{\sin^2\alpha}{4\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\tan\alpha}{4}$

Из этого соотношения выразим тангенс угла броска:

$\tan\alpha = 4 \frac{H}{R} = 4 \cdot \frac{2000 \text{ м}}{4000 \text{ м}} = 2$

Теперь, зная тангенс угла, найдем квадрат синуса этого угла, используя тригонометрическое тождество $1 + \cot^2\alpha = 1/\sin^2\alpha$ или производное от него:

$\sin^2\alpha = \frac{\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha} = \frac{2^2}{1+2^2} = \frac{4}{5}$

Наконец, из формулы для максимальной высоты $\text{H}$ выразим искомую начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = \frac{2gH}{\sin^2\alpha} \implies v_0 = \sqrt{\frac{2gH}{\sin^2\alpha}}$

Подставим известные значения и примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 2000 \text{ м}}{4/5}} = \sqrt{\frac{39200 \cdot 5}{4}} = \sqrt{9800 \cdot 5} = \sqrt{49000} \text{ м/с}$

Упростим полученное выражение для ответа:

$v_0 = \sqrt{4900 \cdot 10} \text{ м/с} = 70\sqrt{10} \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость снаряда была равна $70\sqrt{10}$ м/с (приблизительно 221,3 м/с).