Номер 7.38, страница 42 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.38, страница 42.

Условие.

7.38*. Два одинаковых динамика $\text{A}$ и $\text{B}$ подключены к выходу одного генератора электрических колебаний частотой $v = 680 \text{ Гц}$. Расстояние между динамиками 25 м. Амплитуда звуковых колебаний в точке $\text{C}$, находящейся посередине отрезка $\text{AB}$ (см. схематический рисунок), максимальна и равна $\text{a}$. Какова амплитуда звуковых колебаний в точках $\text{D}$ и $\text{E}$, если $CD = 6,25 \text{ см}$, $CE = 12,5 \text{ см}$? Каким будет ответ, если изменить полярность подключения одного из динамиков?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Частота, $\nu = 680$ Гц
Расстояние между динамиками, $L = 25$ м
Амплитуда в точке C, $A_C = a$ (максимальная)
Расстояние $CD = 6,25$ см
Расстояние $CE = 12,5$ см
Скорость звука в воздухе, $v_{зв} \approx 340$ м/с

$CD = 0,0625$ м
$CE = 0,125$ м

Найти:

1. Амплитуды в точках D и E ($A_D, A_E$).
2. Амплитуды в точках D и E при изменении полярности одного из динамиков ($A'_D, A'_E$).

Решение:

Сначала определим длину звуковой волны, которую излучают динамики.

$\lambda = \frac{v_{зв}}{\nu} = \frac{340 \text{ м/с}}{680 \text{ Гц}} = 0,5$ м.

Динамики А и В, подключенные к одному генератору, являются когерентными источниками волн. Амплитуда результирующего колебания в любой точке зависит от разности фаз $\Delta\phi$ волн, приходящих в эту точку.

По условию, в точке С (середина отрезка АВ) амплитуда максимальна и равна $\text{a}$. Это означает, что волны от источников А и В приходят в точку С в одинаковой фазе и происходит конструктивная интерференция. Поскольку точка С равноудалена от А и В, разность хода волн в ней равна нулю. Следовательно, динамики колеблются синфазно (в одной фазе). Если амплитуда от каждого динамика в точке наблюдения равна $a_0$, то максимальная амплитуда $A_{max} = a_0 + a_0 = 2a_0$. Из условия $A_C = a$, следует, что амплитуда от одного динамика $a_0 = a/2$.

Амплитуда результирующего колебания $A_{рез}$ в произвольной точке для синфазных источников определяется формулой:

$A_{рез} = |2a_0 \cos(\frac{\Delta\phi}{2})| = |a \cos(\frac{\Delta\phi}{2})|$

где разность фаз $\Delta\phi$ связана с разностью хода волн $\Delta r = |r_A - r_B|$ соотношением $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta r$. Подставляя это в формулу для амплитуды, получаем:

$A_{рез} = |a \cos(\frac{\pi \Delta r}{\lambda})|$

Какова амплитуда звуковых колебаний в точках D и E

Найдем разность хода и амплитуду для точки D. Точка C является серединой отрезка AB, длина которого $L=25$ м. Значит, $AC = BC = L/2 = 12,5$ м.
Расстояние от источника A до точки D: $r_{AD} = AC + CD = 12,5 + 0,0625 = 12,5625$ м.
Расстояние от источника B до точки D: $r_{BD} = BC - CD = 12,5 - 0,0625 = 12,4375$ м.
Разность хода в точке D: $\Delta r_D = r_{AD} - r_{BD} = 12,5625 - 12,4375 = 0,125$ м.
Теперь найдем амплитуду в точке D:
$A_D = |a \cos(\frac{\pi \cdot \Delta r_D}{\lambda})| = |a \cos(\frac{\pi \cdot 0,125}{0,5})| = |a \cos(\frac{\pi}{4})| = a\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Аналогично для точки E:
Расстояние от источника A до точки E: $r_{AE} = AC + CE = 12,5 + 0,125 = 12,625$ м.
Расстояние от источника B до точки E: $r_{BE} = BC - CE = 12,5 - 0,125 = 12,375$ м.
Разность хода в точке E: $\Delta r_E = r_{AE} - r_{BE} = 12,625 - 12,375 = 0,25$ м.
Амплитуда в точке E:
$A_E = |a \cos(\frac{\pi \cdot \Delta r_E}{\lambda})| = |a \cos(\frac{\pi \cdot 0,25}{0,5})| = |a \cos(\frac{\pi}{2})| = 0$.
Ответ: Амплитуда в точке D равна $a\frac{\sqrt{2}}{2}$, а в точке E равна 0.

Каким будет ответ, если изменить полярность подключения одного из динамиков

При изменении полярности одного из динамиков они начнут работать в противофазе. Это вносит дополнительную начальную разность фаз $\Delta\phi_0 = \pi$.
Общая разность фаз в произвольной точке теперь будет $\Delta\phi' = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta r + \pi$.
Формула для результирующей амплитуды примет вид:
$A'_{рез} = |a \cos(\frac{\Delta\phi'}{2})| = |a \cos(\frac{\pi \Delta r}{\lambda} + \frac{\pi}{2})|$.
Используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)$, получаем:
$A'_{рез} = |-a \sin(\frac{\pi \Delta r}{\lambda})| = |a \sin(\frac{\pi \Delta r}{\lambda})|$.
Найдем амплитуду в точке D, используя ранее вычисленную разность хода $\Delta r_D = 0,125$ м:
$A'_D = |a \sin(\frac{\pi \cdot 0,125}{0,5})| = |a \sin(\frac{\pi}{4})| = a\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдем амплитуду в точке E, используя разность хода $\Delta r_E = 0,25$ м:
$A'_E = |a \sin(\frac{\pi \cdot 0,25}{0,5})| = |a \sin(\frac{\pi}{2})| = a$.
Ответ: Амплитуда в точке D будет равна $a\frac{\sqrt{2}}{2}$, а в точке E будет равна $\text{a}$.