Номер 7.37, страница 42 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.37, страница 42.

Условие.

7.37*. Морские волны движутся со скоростью $\text{u}$ и набегают на берег с частотой $v_0$, причем волновой фронт параллелен береговой линии. С какой частотой $\text{v}$ волны ударяются о катер, идущий от берега со скоростью $\text{v}$, направленной под углом $\alpha$ к береговой линии? Каким станет ответ, если катер изменит направление движения на противоположное?

Решение.

Решение 2.

Дано:

u - скорость морских волн

$ν_0$ - частота, с которой волны набегают на берег

v - скорость катера

α - угол между направлением движения катера и береговой линией

Найти:

ν - частоту ударов волн о катер, идущий от берега

ν' - частоту ударов волн о катер, идущий к берегу

Решение:

Это задача на эффект Доплера. Частота, с которой волны ударяются о движущийся объект (катер), зависит от относительной скорости волн и объекта в направлении, перпендикулярном волновому фронту.

Длина волны $λ$ связана со скоростью волн $\text{u}$ и их частотой у неподвижного наблюдателя $ν_0$ соотношением: $λ = \frac{u}{ν_0}$.

С какой частотой v волны ударяются о катер, идущий от берега со скоростью v, направленной под углом α к береговой линии?

По условию, волновой фронт параллелен береговой линии. Это означает, что волны движутся перпендикулярно берегу. Направим ось OY перпендикулярно берегу (от берега в море), а ось OX — вдоль береговой линии.

Вектор скорости волн, движущихся к берегу, будет направлен против оси OY. Скорость волн равна $\text{u}$.

Катер идет от берега, его скорость $\text{v}$ направлена под углом $α$ к береговой линии (к оси OX). Для нахождения относительной скорости важна только компонента скорости катера, перпендикулярная берегу (вдоль оси OY). Эта компонента равна $v_y = v \sin \alpha$.

Поскольку катер движется от берега (в положительном направлении оси OY), а волны — к берегу (в отрицательном направлении оси OY), они движутся навстречу друг другу. Их относительная скорость сближения $u_{отн}$ равна сумме их скоростей в этом направлении:

$u_{отн} = u + v_y = u + v \sin \alpha$

Искомая частота $ν$ — это количество длин волн $λ$, которые "проходят" мимо катера за единицу времени. Она равна относительной скорости, деленной на длину волны:

$ν = \frac{u_{отн}}{λ} = \frac{u + v \sin \alpha}{u/ν_0} = ν_0 \frac{u + v \sin \alpha}{u} = ν_0 \left(1 + \frac{v}{u} \sin \alpha\right)$

Ответ: $ν = ν_0 \left(1 + \frac{v}{u} \sin \alpha\right)$

Каким станет ответ, если катер изменит направление движения на противоположное?

Если катер меняет направление движения на противоположное, его вектор скорости становится $-\vec{v}$. Теперь катер движется к берегу. Проекция его скорости на направление, перпендикулярное берегу, по-прежнему равна по модулю $v \sin \alpha$, но теперь она направлена в ту же сторону, что и скорость волн (к берегу).

В этом случае катер "убегает" от набегающих сзади волн. Относительная скорость, с которой волны догоняют катер, будет равна разности их скоростей:

$u'_{отн} = u - v \sin \alpha$

Новая частота ударов волн $ν'$ будет:

$ν' = \frac{u'_{отн}}{λ} = \frac{u - v \sin \alpha}{u/ν_0} = ν_0 \frac{u - v \sin \alpha}{u} = ν_0 \left(1 - \frac{v}{u} \sin \alpha\right)$

Эта формула справедлива, если $u > v \sin \alpha$. Если перпендикулярная берегу компонента скорости катера больше или равна скорости волн ($v \sin \alpha \ge u$), то волны его не догонят, и частота ударов будет равна нулю.

Ответ: $ν' = ν_0 \left(1 - \frac{v}{u} \sin \alpha\right)$ при условии, что $v \sin \alpha < u$. Если $v \sin \alpha \ge u$, то $ν' = 0$.