Номер 8.2, страница 43 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.2, страница 43.

Условие.

8.2. Тело массой $m = 1$ кг вращается в вертикальной плоскости на нити длиной $l = 1$ м. Когда тело проходит нижнюю точку, сила натяжения нити $T = 80$ Н. В момент, когда скорость тела направлена вертикально вверх, нить обрывается. На какую высоту $\text{h}$ относительно нижней точки окружности поднимется тело?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса тела: $m = 1$ кг

Длина нити: $l = 1$ м

Сила натяжения нити в нижней точке: $T = 80$ Н

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

Высоту подъема тела: $\text{h}$

Решение:

Запишем второй закон Ньютона для тела в нижней точке траектории. В этой точке на тело действуют сила тяжести $\text{mg}$, направленная вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вверх. Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v_1^2}{l}$, где $v_1$ - скорость тела в нижней точке. Ось OY направим вертикально вверх.

В проекции на ось OY: $T - mg = m \frac{v_1^2}{l}$

Отсюда можно выразить кинетическую энергию тела $E_{k1} = \frac{1}{2}mv_1^2$ в нижней точке:

$mv_1^2 = l(T - mg)$

$E_{k1} = \frac{l(T - mg)}{2}$

Выберем уровень нижней точки окружности в качестве нулевого уровня потенциальной энергии ($E_{p1} = 0$). Тогда полная механическая энергия тела в нижней точке равна его кинетической энергии:

$E_{полн} = E_{k1} + E_{p1} = \frac{l(T - mg)}{2}$

Пока тело движется по окружности, его полная механическая энергия сохраняется, так как сила натяжения нити всегда перпендикулярна вектору скорости и не совершает работы, а сила тяжести является консервативной.

Нить обрывается, и тело продолжает движение только под действием силы тяжести. Следовательно, его полная механическая энергия продолжает сохраняться. Тело поднимется на максимальную высоту $\text{h}$ (относительно нижней точки), в которой его скорость станет равной нулю. В этой верхней точке кинетическая энергия тела будет равна нулю ($E_k = 0$), а потенциальная энергия будет максимальной: $E_p = mgh$.

По закону сохранения механической энергии, полная энергия в начальном состоянии (нижняя точка) равна полной энергии в конечном состоянии (точка максимального подъема):

$E_{полн} = mgh$

$\frac{l(T - mg)}{2} = mgh$

Выразим искомую высоту $\text{h}$:

$h = \frac{l(T - mg)}{2mg}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{1 \text{ м} \cdot (80 \text{ Н} - 1 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2})}{2 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{80 - 10}{20} = \frac{70}{20} = 3.5 \text{ м}$

Ответ: $h = 3.5$ м.