Номер 8.4, страница 43 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.4, страница 43.

Условие.

8.4*. Шарик массой $\text{m}$, подвешенный на нити, отклоняют до горизонтального положения нити и отпускают. При каком угле $\alpha$ между нитью и вертикалью сила натяжения нити будет равна $\text{mg}$? Чему равна максимальная сила $T_{\max}$ натяжения нити?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса шарика: $\text{m}$

Начальное положение: нить горизонтальна

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Найти:

1. Угол $\alpha$, при котором $T = mg$

2. Максимальную силу натяжения $T_{max}$

Решение:

Пусть длина нити равна $\text{l}$. Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение шарика.

В начальном, горизонтальном положении высота шарика над нулевым уровнем составляет $h_0 = l$. Поскольку шарик отпускают, его начальная скорость $v_0 = 0$. Полная механическая энергия шарика в начальный момент времени:

$E_0 = E_{p0} + E_{k0} = mgh_0 + \frac{mv_0^2}{2} = mgl$

Рассмотрим произвольное положение шарика, когда нить образует угол $\alpha$ с вертикалью. Высота шарика в этом положении над нулевым уровнем равна $h = l - l \cos \alpha = l(1 - \cos \alpha)$. Скорость шарика в этом положении обозначим как $\text{v}$. Полная энергия в этом положении:

$E = E_p + E_k = mgh + \frac{mv^2}{2} = mgl(1 - \cos \alpha) + \frac{mv^2}{2}$

По закону сохранения механической энергии $E_0 = E$:

$mgl = mgl(1 - \cos \alpha) + \frac{mv^2}{2}$

$mgl = mgl - mgl \cos \alpha + \frac{mv^2}{2}$

Отсюда выразим квадрат скорости шарика:

$\frac{mv^2}{2} = mgl \cos \alpha$

$v^2 = 2gl \cos \alpha$

Теперь применим второй закон Ньютона для движения шарика по окружности. На шарик действуют сила тяжести $\text{mg}$ и сила натяжения нити $\text{T}$. Запишем уравнение в проекции на радиальное направление (вдоль нити к центру окружности):

$T - mg \cos \alpha = ma_c$

где $a_c = \frac{v^2}{l}$ – центростремительное ускорение. Проекция силы тяжести на это направление равна $mg \cos \alpha$.

$T - mg \cos \alpha = \frac{mv^2}{l}$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $v^2$:

$T = mg \cos \alpha + \frac{m(2gl \cos \alpha)}{l}$

$T = mg \cos \alpha + 2mg \cos \alpha$

$T = 3mg \cos \alpha$

Это общее выражение для силы натяжения нити как функции угла отклонения $\alpha$.

При каком угле α между нитью и вертикалью сила натяжения нити будет равна mg?

Используем полученное выражение для силы натяжения $\text{T}$ и подставим в него условие задачи $T = mg$:

$mg = 3mg \cos \alpha$

Сокращаем на $\text{mg}$ (так как $m>0$ и $g>0$):

$1 = 3 \cos \alpha$

$\cos \alpha = \frac{1}{3}$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$

Ответ: Сила натяжения нити будет равна $\text{mg}$ при угле $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Чему равна максимальная сила T_max натяжения нити?

Сила натяжения нити определяется формулой $T = 3mg \cos \alpha$.

Поскольку $\text{m}$ и $\text{g}$ – постоянные положительные величины, сила натяжения $\text{T}$ максимальна, когда $\cos \alpha$ принимает максимальное значение. Во время движения шарика от начального горизонтального положения ($\alpha = 90^\circ$) до нижнего положения ($\alpha = 0^\circ$), косинус угла $\cos \alpha$ возрастает. Максимальное значение $\cos \alpha = 1$ достигается при $\alpha = 0$, то есть в нижней точке траектории.

Найдем максимальную силу натяжения, подставив $\alpha = 0$ в формулу:

$T_{max} = 3mg \cos(0) = 3mg \cdot 1 = 3mg$

Ответ: Максимальная сила натяжения нити равна $T_{max} = 3mg$.