Номер 8.11, страница 44 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.11, страница 44.

Условие.

8.11*. Маленький шарик подвешен в точке А на нити длиной $\text{l}$. В точке В на расстоянии $l/2$ ниже точки А в стену вбит гвоздь (см. рисунок). Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают. В какой точке траектории исчезнет сила натяжения нити? До какой наивысшей точки поднимется шарик?

К задаче 8.11

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина нити: $\text{l}$

Расстояние от точки подвеса A до гвоздя B: $AB = l/2$

Начальное положение: нить горизонтальна

Начальная скорость: $v_0=0$

Найти:

1. Точку, в которой исчезнет сила натяжения нити ($T=0$).

2. Наивысшую точку подъема шарика ($h_{max}$).

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с точкой подвеса A. Начало координат (0,0) в точке A, ось Y направлена вертикально вверх. Тогда начальные координаты шарика $(-l, 0)$. Начальная энергия системы равна нулю, так как шарик находится на нулевой высоте и покоится.

$$ E_0 = E_k + E_p = 0 + 0 = 0 $$

По закону сохранения энергии, полная энергия шарика в любой точке траектории будет равна нулю.

Сначала шарик движется по дуге окружности радиусом $\text{l}$ с центром в точке A. Когда нить становится вертикальной, шарик проходит самую нижнюю точку своей траектории (точка C). Ее координаты $(0, -l)$. Найдем скорость шарика в этой точке из закона сохранения энергии:

$$ E_C = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg(-l) = E_0 = 0 $$

$$ \frac{1}{2}mv_C^2 = mgl \implies v_C^2 = 2gl $$

В этот момент нить задевает гвоздь в точке B, находящейся на расстоянии $l/2$ ниже точки A. Координаты точки B: $(0, -l/2)$. Дальнейшее движение шарика происходит по окружности радиусом $\text{R}$ с центром в точке B.

$$ R = l - AB = l - \frac{l}{2} = \frac{l}{2} $$

В какой точке траектории исчезнет сила натяжения нити?

Рассмотрим движение шарика по окружности радиусом $\text{R}$ с центром в B. Пусть $\alpha$ — угол между нитью и вертикалью, направленной вниз от точки B. Запишем второй закон Ньютона для шарика в проекции на радиальное направление:

$$ T - mg\cos\alpha = \frac{mv^2}{R} $$

где $\text{T}$ — сила натяжения нити, $\text{v}$ — скорость шарика.

Найдем скорость $\text{v}$ в зависимости от угла $\alpha$ из закона сохранения энергии. Высота шарика в положении, определяемом углом $\alpha$, равна:

$$ y = y_B - R\cos\alpha = -\frac{l}{2} - \frac{l}{2}\cos\alpha $$

$$ E = \frac{1}{2}mv^2 + mgy = 0 $$

$$ \frac{1}{2}mv^2 + mg(-\frac{l}{2} - \frac{l}{2}\cos\alpha) = 0 $$

$$ \frac{1}{2}v^2 = g(\frac{l}{2} + \frac{l}{2}\cos\alpha) \implies v^2 = gl(1 + \cos\alpha) $$

Сила натяжения исчезнет, когда $T=0$. Подставим это условие и выражение для $v^2$ в уравнение второго закона Ньютона:

$$ 0 - mg\cos\alpha = \frac{m(gl(1 + \cos\alpha))}{l/2} $$

$$ -mg\cos\alpha = 2mg(1 + \cos\alpha) $$

$$ -\cos\alpha = 2 + 2\cos\alpha $$

$$ -2 = 3\cos\alpha \implies \cos\alpha = -\frac{2}{3} $$

Это условие определяет точку, в которой нить перестает быть натянутой. Найдем высоту этой точки (точки D) относительно точки A:

$$ y_D = -\frac{l}{2} - \frac{l}{2}\cos\alpha = -\frac{l}{2} - \frac{l}{2}(-\frac{2}{3}) = -\frac{l}{2} + \frac{l}{3} = -\frac{l}{6} $$

Таким образом, сила натяжения исчезает, когда шарик находится на высоте $l/6$ ниже точки подвеса A.

Ответ: Сила натяжения нити исчезнет в точке, где нить, вращаясь вокруг гвоздя B, составит с вертикалью угол $\alpha = \arccos(-2/3)$. Эта точка расположена на высоте $l/6$ ниже первоначальной точки подвеса A.

До какой наивысшей точки поднимется шарик?

После того как сила натяжения исчезла в точке D, шарик начинает двигаться по параболической траектории, как тело, брошенное под углом к горизонту. Начальной скоростью для этого движения будет скорость $v_D$ в точке D. Найдем ее:

$$ v_D^2 = gl(1 + \cos\alpha) = gl(1 - \frac{2}{3}) = \frac{gl}{3} $$

Для нахождения максимальной высоты подъема нам нужна вертикальная составляющая этой скорости, $v_{Dy}$. Угол, который касательная к траектории в точке D образует с горизонталью, равен углу $\alpha$ (как угол между взаимно перпендикулярными прямыми). Тогда:

$$ v_{Dy} = v_D \sin\alpha $$

Найдем $\sin\alpha$:

$$ \sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (-\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} $$

Квадрат вертикальной составляющей скорости:

$$ v_{Dy}^2 = v_D^2 \sin^2\alpha = (\frac{gl}{3}) \cdot (\frac{5}{9}) = \frac{5gl}{27} $$

Дополнительная высота $\Delta y$, на которую поднимется шарик, двигаясь по параболе, равна:

$$ \Delta y = \frac{v_{Dy}^2}{2g} = \frac{5gl/27}{2g} = \frac{5l}{54} $$

Максимальная высота $y_{max}$ будет суммой высоты точки D и дополнительной высоты $\Delta y$:

$$ y_{max} = y_D + \Delta y = -\frac{l}{6} + \frac{5l}{54} = -\frac{9l}{54} + \frac{5l}{54} = -\frac{4l}{54} = -\frac{2l}{27} $$

Знак "минус" означает, что наивысшая точка находится ниже начального уровня (уровня точки A).

Ответ: Шарик поднимется до наивысшей точки, расположенной на $2l/27$ ниже начального горизонтального положения.