Номер 8.13, страница 44 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.13, страница 44.

Условие.

8.13* На какой высоте $\text{H}$ тело (см. задачу 8.12) отделится от шара?

Решение.

Решение 2.

Поскольку условие задачи 8.12 не приведено, будем решать в общем виде для стандартной постановки: небольшое тело начинает скользить без начальной скорости с вершины гладкого шара радиусом R.

Дано:

Радиус шара: $\text{R}$

Начальная скорость тела: $v_0 = 0$

Начальное положение: вершина шара

Трение отсутствует.

Найти:

Высоту $\text{H}$, на которой тело отделится от шара.

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Пусть высота $\text{H}$ отсчитывается от основания шара. За нулевой уровень потенциальной энергии примем плоскость основания шара.

Рассмотрим положение тела на шаре, определяемое углом $\alpha$ между вертикалью и радиус-вектором, проведенным из центра шара к телу. В начальный момент на вершине шара $\alpha = 0$.

На тело действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности шара (вдоль радиуса от центра).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальную ось, направленную к центру шара:

$mg \cos\alpha - N = ma_{ц}$

где $a_{ц} = \frac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение тела, $\text{v}$ — его скорость в данный момент.

$mg \cos\alpha - N = m\frac{v^2}{R}$

Отрыв тела от поверхности произойдет в тот момент, когда сила реакции опоры станет равной нулю, то есть $N=0$. Подставив это условие в уравнение, получим:

$mg \cos\alpha = m\frac{v^2}{R}$

Отсюда можно выразить квадрат скорости тела в момент отрыва:

$v^2 = gR \cos\alpha$ (1)

Скорость тела $\text{v}$ найдем из закона сохранения механической энергии. Полная механическая энергия тела в начальный момент (на вершине шара) равна:

$E_0 = E_{к0} + E_{п0} = 0 + mg(2R) = 2mgR$

Полная механическая энергия в момент отрыва на высоте $\text{H}$:

$E = E_к + E_п = \frac{1}{2}mv^2 + mgH$

Высота $\text{H}$ связана с углом $\alpha$ через радиус $\text{R}$: $H = R + R\cos\alpha = R(1+\cos\alpha)$. Подставим это выражение в уравнение для энергии:

$E = \frac{1}{2}mv^2 + mgR(1+\cos\alpha)$

Согласно закону сохранения энергии, $E_0 = E$:

$2mgR = \frac{1}{2}mv^2 + mgR(1+\cos\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $\text{m}$:

$2gR = \frac{1}{2}v^2 + gR(1+\cos\alpha)$

Выразим отсюда $\frac{1}{2}v^2$:

$\frac{1}{2}v^2 = 2gR - gR(1+\cos\alpha) = gR(2 - 1 - \cos\alpha) = gR(1-\cos\alpha)$

$v^2 = 2gR(1-\cos\alpha)$ (2)

Теперь приравняем правые части уравнений (1) и (2) для $v^2$:

$gR \cos\alpha = 2gR(1-\cos\alpha)$

Сократим на $\text{gR}$ (так как $g \neq 0$ и $R \neq 0$):

$\cos\alpha = 2(1-\cos\alpha)$

$\cos\alpha = 2 - 2\cos\alpha$

$3\cos\alpha = 2$

$\cos\alpha = \frac{2}{3}$

Мы нашли косинус угла, при котором тело отрывается от поверхности шара. Теперь найдем высоту $\text{H}$, соответствующую этому углу:

$H = R(1+\cos\alpha) = R\left(1+\frac{2}{3}\right) = \frac{5}{3}R$

Ответ: тело отделится от шара на высоте $H = \frac{5}{3}R$, отсчитываемой от основания шара.