Номер 8.14, страница 44 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.14, страница 44.

Условие.

8.14**. На каком расстоянии от точки касания шара с плоскостью (см. задачу 8.12) упадет тело?

Решение.

Решение 2.

Для решения данной задачи необходимо сначала найти точку, в которой тело оторвется от поверхности шара. Это условие было, по-видимому, рассмотрено в задаче 8.12. Решим эту часть заново.

1. Определение точки отрыва тела от шара

Пусть тело массы $\text{m}$ соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкого шара радиусом $\text{R}$. Введем систему координат с началом в центре шара, где ось OY направлена вертикально вверх. Положение тела на шаре будем определять углом $\alpha$, отсчитываемым от вертикали.

Согласно закону сохранения механической энергии, потенциальная энергия тела на вершине шара переходит в кинетическую энергию и потенциальную энергию на высоте $h = R \cos \alpha$.

Начальная энергия (на вершине, $\alpha=0$): $E_1 = mgR$.
Энергия в точке, определяемой углом $\alpha$: $E_2 = \frac{mv^2}{2} + mgR \cos \alpha$.

Приравнивая энергии, получаем: $mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR \cos \alpha$ Отсюда скорость тела $\text{v}$ в зависимости от угла $\alpha$: $v^2 = 2gR(1 - \cos \alpha)$

Запишем второй закон Ньютона для тела в проекции на радиальное направление. На тело действуют сила тяжести $\text{mg}$ и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$. $ma_n = mg \cos \alpha - N$ где $a_n = \frac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение. $m\frac{v^2}{R} = mg \cos \alpha - N$

Тело отрывается от поверхности шара в тот момент, когда сила нормальной реакции опоры обращается в ноль ($N = 0$). $m\frac{v^2}{R} = mg \cos \alpha \implies v^2 = gR \cos \alpha$

Теперь приравняем два полученных выражения для $v^2$: $2gR(1 - \cos \alpha) = gR \cos \alpha$ $2 - 2 \cos \alpha = \cos \alpha$ $3 \cos \alpha = 2 \implies \cos \alpha_0 = \frac{2}{3}$

Это косинус угла, при котором происходит отрыв. Найдем также синус этого угла: $\sin \alpha_0 = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha_0} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

2. Расчет траектории полета после отрыва

После отрыва тело движется по параболической траектории. Введем новую систему координат, где начало (0,0) находится в точке касания шара с плоскостью, ось OX направлена горизонтально, а ось OY — вертикально вверх. Центр шара в этой системе имеет координаты $(0, R)$.

Определим начальные условия для этой фазы движения (в момент отрыва):

Начальные координаты:
$x_0 = R \sin \alpha_0 = R \frac{\sqrt{5}}{3}$
$y_0 = R + R \cos \alpha_0 = R + R \frac{2}{3} = \frac{5}{3}R$

Начальная скорость:
Величина скорости в момент отрыва: $v_0^2 = gR \cos \alpha_0 = \frac{2}{3}gR \implies v_0 = \sqrt{\frac{2gR}{3}}$.
Скорость направлена по касательной к окружности, то есть под углом $\alpha_0$ к горизонту (вниз).

Проекции начальной скорости:
$v_{x0} = v_0 \cos \alpha_0 = \sqrt{\frac{2gR}{3}} \cdot \frac{2}{3}$
$v_{y0} = -v_0 \sin \alpha_0 = -\sqrt{\frac{2gR}{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = -\frac{\sqrt{10gR}}{3}$

Уравнения движения тела после отрыва: $x(t) = x_0 + v_{x0}t$
$y(t) = y_0 + v_{y0}t - \frac{gt^2}{2}$

Тело упадет на плоскость, когда $y(t_f) = 0$. Найдем время полета $t_f$: $0 = \frac{5}{3}R - \frac{\sqrt{10gR}}{3}t_f - \frac{gt_f^2}{2}$
Умножим уравнение на 6 и перестроим, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $3gt_f^2 + 2\sqrt{10gR}t_f - 10R = 0$

Решаем это уравнение относительно $t_f$ (берем только положительный корень): $t_f = \frac{-2\sqrt{10gR} + \sqrt{(2\sqrt{10gR})^2 - 4(3g)(-10R)}}{2(3g)} = \frac{-2\sqrt{10gR} + \sqrt{40gR + 120gR}}{6g}$ $t_f = \frac{-2\sqrt{10gR} + \sqrt{160gR}}{6g} = \frac{-2\sqrt{10gR} + 4\sqrt{10gR}}{6g} = \frac{2\sqrt{10gR}}{6g} = \frac{\sqrt{10gR}}{3g}$

Искомое расстояние $\text{L}$ — это координата $\text{x}$ в момент времени $t_f$: $L = x(t_f) = x_0 + v_{x0}t_f = R \frac{\sqrt{5}}{3} + \left(\sqrt{\frac{2gR}{3}} \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{10gR}}{3g}$ $L = R \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{2}{9g}\sqrt{\frac{2gR}{3} \cdot 10gR} = R \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{2}{9g}\sqrt{\frac{20g^2R^2}{3}}$ $L = R \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{2gR}{9g}\sqrt{\frac{20}{3}} = R \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{2R}{9}\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = R \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{4R\sqrt{5}}{9\sqrt{3}}$

Приведем к общему знаменателю: $L = \frac{3\sqrt{3}R\sqrt{5}}{9\sqrt{3}} + \frac{4R\sqrt{5}}{9\sqrt{3}} = \frac{R\sqrt{5}(3\sqrt{3}+4)}{9\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $L = \frac{R\sqrt{5}(3\sqrt{3}+4)\sqrt{3}}{9\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{R\sqrt{15}(3\sqrt{3}+4)}{27} = \frac{R(9\sqrt{5}+4\sqrt{15})}{27}$

Или, вынося общий множитель $R\sqrt{5}$: $L = \frac{R\sqrt{5}(9+4\sqrt{3})}{27}$

Ответ: Тело упадет на расстоянии $L = \frac{R\sqrt{5}(9+4\sqrt{3})}{27}$ от точки касания шара с плоскостью, где $\text{R}$ - радиус шара.