Номер 8.10, страница 44 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.10, страница 44.

Условие.

8.10*. Стержень может скользить вверх и вниз между двумя неподвижными муфтами (см. рисунок). Он опирается на клин, лежащий на горизонтальном столе. Найдите ускорения клина и стержня, если их массы одинаковы, а трением можно пренебречь.

К задаче 8.10

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса стержня $m_с = m$

Масса клина $m_к = m$

Угол наклона клина $\alpha$

Трение отсутствует

Ускорение свободного падения $\text{g}$

Найти:

Ускорение стержня $a_с$

Ускорение клина $a_к$

Решение:

Введем систему координат: ось $\text{Ox}$ направим горизонтально вправо, а ось $\text{Oy}$ — вертикально вверх. Стержень может двигаться только вертикально, поэтому его ускорение $\vec{a}_с$ направлено вниз. Клин движется по горизонтальной поверхности, под действием стержня он будет двигаться влево, поэтому его ускорение $\vec{a}_к$ направлено влево. Обозначим модули этих ускорений $a_с$ и $a_к$ соответственно.

Рассмотрим силы, действующие на стержень. На него действуют: сила тяжести $m\vec{g}$ (направлена вертикально вниз), сила нормальной реакции со стороны клина $\vec{N}$ (направлена перпендикулярно наклонной поверхности клина) и силы реакции со стороны неподвижных муфт (удерживают стержень от горизонтального движения).

На клин действуют: сила тяжести $m\vec{g}$ (направлена вертикально вниз), сила нормальной реакции со стороны стола $\vec{N}_{оп}$ и сила давления со стороны стержня $\vec{N}'$. По третьему закону Ньютона $\vec{N}' = -\vec{N}$, следовательно, их модули равны: $|\vec{N}'| = |\vec{N}| = N$.

Запишем второй закон Ньютона для стержня в проекциях на оси координат. Вектор $\vec{N}$ образует угол $\alpha$ с вертикальной осью $\text{Oy}$.

Проекция на ось $\text{Oy}$ для стержня:

$mg - N \cos\alpha = m a_с$ (1)

В проекции на ось $\text{Ox}$ горизонтальная составляющая силы реакции $N \sin\alpha$ уравновешена силами со стороны муфт.

Запишем второй закон Ньютона для клина. Сила $\vec{N}'$ давит на клин перпендикулярно его наклонной поверхности. Её проекция на ось $\text{Ox}$ равна $N \sin\alpha$ и направлена влево, вызывая ускорение $a_к$.

Проекция на ось $\text{Ox}$ для клина:

$N \sin\alpha = m a_к$ (2)

Мы получили два уравнения с тремя неизвестными: $a_с$, $a_к$ и $\text{N}$. Необходимо еще одно уравнение, которое связывает ускорения. Это уравнение кинематической связи.

Поскольку стержень и клин постоянно находятся в контакте, их смещения вдоль осей связаны. Если клин сместится влево на расстояние $\Delta x$, то стержень опустится на расстояние $\Delta y$. Из геометрии треугольника, образованного смещениями, следует: $\tan\alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Так как это соотношение справедливо для любых малых промежутков времени, оно верно и для модулей скоростей, и для модулей ускорений:

$\frac{a_с}{a_к} = \tan\alpha$

Отсюда $a_с = a_к \tan\alpha$ (3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений для нахождения трех неизвестных:

1) $mg - N \cos\alpha = m a_с$

2) $N \sin\alpha = m a_к$

3) $a_с = a_к \tan\alpha$

Решим эту систему. Из уравнения (2) выразим силу реакции $\text{N}$:

$N = \frac{m a_к}{\sin\alpha}$

Подставим это выражение для $\text{N}$ в уравнение (1):

$mg - \left(\frac{m a_к}{\sin\alpha}\right) \cos\alpha = m a_с$

Сократим на массу $\text{m}$ и используем тождество $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cot\alpha$:

$g - a_к \cot\alpha = a_с$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $a_с$ из уравнения (3):

$g - a_к \cot\alpha = a_к \tan\alpha$

Перенесем члены с $a_к$ в одну сторону и вынесем $a_к$ за скобки:

$g = a_к (\tan\alpha + \cot\alpha)$

Преобразуем выражение в скобках, используя определения тангенса и котангенса:

$\tan\alpha + \cot\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha \cos\alpha}$

Подставим это обратно в уравнение для $\text{g}$:

$g = a_к \left(\frac{1}{\sin\alpha \cos\alpha}\right)$

Отсюда находим ускорение клина $a_к$:

$a_к = g \sin\alpha \cos\alpha$

Наконец, найдем ускорение стержня $a_с$ из уравнения (3):

$a_с = a_к \tan\alpha = (g \sin\alpha \cos\alpha) \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = g \sin^2\alpha$

Ответ:

Ускорение клина: $a_к = g \sin\alpha \cos\alpha$. Ускорение стержня: $a_с = g \sin^2\alpha$.