Номер 8.6, страница 43 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.6, страница 43.

Условие.

8.6**. На нити длиной $\text{l}$ подвешен шарик массой $\text{m}$. Нить с шариком отводят до горизонтального положения и отпускают. Какой угол $\alpha$ образует нить с вертикалью в тот момент, когда ускорение шарика направлено горизонтально? Каковы в этот момент скорость шарика $\text{v}$ и сила $\text{T}$ натяжения нити?

Решение.

Решение 2.

Дано

Длина нити: $\text{l}$

Масса шарика: $\text{m}$

Начальное положение: нить горизонтальна

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Угол с вертикалью $\alpha$

Скорость шарика $\text{v}$

Сила натяжения нити $\text{T}$

Решение

Рассмотрим движение шарика. На него действуют две силы: сила тяжести $\text{mg}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Полное ускорение шарика $\vec{a}$ можно разложить на две взаимно перпендикулярные компоненты: тангенциальную $\vec{a}_\tau$ (касательную к траектории) и нормальную $\vec{a}_n$ (центростремительную).

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на тангенциальное и нормальное направления. Пусть $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали.

Проекция на тангенциальное направление (направление движения):

$mg \sin\alpha = m a_\tau$

Отсюда тангенциальное ускорение: $a_\tau = g \sin\alpha$.

Проекция на нормальное направление (вдоль нити к центру):

$T - mg \cos\alpha = m a_n$

Нормальное ускорение равно $a_n = \frac{v^2}{l}$, где $\text{v}$ — скорость шарика. Тогда:

$T - mg \cos\alpha = m \frac{v^2}{l}$ (1)

По условию задачи, полное ускорение $\vec{a} = \vec{a}_\tau + \vec{a}_n$ направлено горизонтально. Это означает, что его вертикальная составляющая равна нулю.

Вертикальная составляющая нормального ускорения направлена вверх и равна $a_{ny} = a_n \cos\alpha$.

Вертикальная составляющая тангенциального ускорения направлена вниз и равна $a_{\tau y} = a_\tau \sin\alpha$.

Условие равенства нулю вертикальной составляющей полного ускорения:

$a_{ny} - a_{\tau y} = 0 \implies a_n \cos\alpha = a_\tau \sin\alpha$

Подставим выражения для $a_n$ и $a_\tau$:

$\frac{v^2}{l} \cos\alpha = (g \sin\alpha) \sin\alpha$

$\frac{v^2}{l} = g \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}$ (2)

Для нахождения связи между скоростью $\text{v}$ и углом $\alpha$ воспользуемся законом сохранения энергии. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии в начальном горизонтальном положении шарика.

Начальная энергия (нить горизонтальна, $v_0 = 0$):

$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = 0 + 0 = 0$

Энергия в момент, когда нить составляет угол $\alpha$ с вертикалью:

Шарик опустился на высоту $h = l \cos\alpha$ относительно начального положения.

$E = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - mgh = \frac{1}{2}mv^2 - mgl \cos\alpha$

По закону сохранения энергии $E_0 = E$:

$0 = \frac{1}{2}mv^2 - mgl \cos\alpha$

$\frac{1}{2}mv^2 = mgl \cos\alpha$

$v^2 = 2gl \cos\alpha$ (3)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (2) и (3) для $v^2$ и $\alpha$.

Какой угол α образует нить с вертикалью в тот момент, когда ускорение шарика направлено горизонтально?

Приравняем выражения для $v^2$ из уравнений (2) и (3):

$gl \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = 2gl \cos\alpha$

Сократив на $\text{gl}$ (так как $g \neq 0, l \neq 0$), получаем:

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = 2 \cos\alpha$

$\sin^2\alpha = 2 \cos^2\alpha$

Разделим обе части на $\cos^2\alpha$ (так как $\alpha \neq 90^\circ$, $\cos\alpha \neq 0$):

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \tan^2\alpha = 2$

$\tan\alpha = \sqrt{2}$

Отсюда $\alpha = \arctan\sqrt{2}$.

Ответ: Угол, который нить образует с вертикалью, равен $\alpha = \arctan\sqrt{2}$.

Каковы в этот момент скорость шарика v и сила T натяжения нити?

Сначала найдем скорость $\text{v}$. Для этого нам понадобится $\cos\alpha$. Из соотношения $\tan\alpha = \sqrt{2}$ и основного тригонометрического тождества $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ находим:

$1 + (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \implies 3 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \implies \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $\cos\alpha$ в уравнение (3) для $v^2$:

$v^2 = 2gl \cos\alpha = 2gl \frac{1}{\sqrt{3}}$

$v = \sqrt{\frac{2gl}{\sqrt{3}}}$

Теперь найдем силу натяжения нити $\text{T}$ из уравнения (1):

$T = mg \cos\alpha + m \frac{v^2}{l}$

Подставим в него выражение $v^2 = 2gl \cos\alpha$:

$T = mg \cos\alpha + m \frac{2gl \cos\alpha}{l} = mg \cos\alpha + 2mg \cos\alpha = 3mg \cos\alpha$

Подставим найденное значение $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$T = 3mg \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}mg$

Ответ: Скорость шарика $v = \sqrt{\frac{2gl}{\sqrt{3}}}$, сила натяжения нити $T = \sqrt{3}mg$.