Номер 7.35, страница 42 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.35, страница 42.

Условие.

7.35*. Реактивный самолет пролетел со скоростью, в два раза превышающей скорость звука, на высоте $h = 5 \text{ км}$ над наблюдателем. На каком расстоянии от наблюдателя был самолет, когда человек услышал звук?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость самолета, $v = 2v_{зв}$

Высота полета, $h = 5$ км

Перевод в систему СИ:
$h = 5 \cdot 10^3$ м

Найти:

$\text{L}$ — расстояние от наблюдателя до самолета.

Решение:

Когда самолет движется со скоростью, превышающей скорость звука, возникает ударная волна. Фронт этой волны представляет собой коническую поверхность, которую называют конусом Маха. Наблюдатель на земле слышит звук от самолета (звуковой удар) именно в тот момент, когда его достигает эта коническая поверхность.

Рассмотрим геометрическую схему. Пусть О — положение наблюдателя на земле. Самолет летит по прямой на высоте $\text{h}$. Пусть C — положение самолета в тот момент, когда наблюдатель в точке О слышит звук. Точка А — это точка на траектории самолета, находящаяся прямо над наблюдателем. Таким образом, отрезок OA перпендикулярен траектории полета и его длина равна $\text{h}$.

Треугольник OAC является прямоугольным с прямым углом при вершине A. В этом треугольнике:

• $OA = h$ — катет, равный высоте полета.
• $\text{AC}$ — катет, равный расстоянию, которое пролетел самолет от точки А до точки С.
• $OC = L$ — гипотенуза, равная расстоянию от самолета до наблюдателя в момент, когда звук был услышан. Это искомая величина.

Угол конуса Маха $\alpha$ — это угол между направлением движения самолета (осью конуса, т.е. прямой AC) и образующей конуса (линией распространения ударной волны, т.е. прямой OC). В нашем треугольнике это угол $\angle OCA$.

Синус угла Маха определяется как отношение скорости звука $v_{зв}$ к скорости объекта $\text{v}$:

$\sin\alpha = \frac{v_{зв}}{v}$

Согласно условию задачи, скорость самолета в два раза больше скорости звука: $v = 2v_{зв}$. Подставим это соотношение в формулу:

$\sin\alpha = \frac{v_{зв}}{2v_{зв}} = \frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник OAC. Синус угла $\alpha$ в этом треугольнике равен отношению противолежащего катета $\text{OA}$ к гипотенузе $\text{OC}$:

$\sin\alpha = \frac{OA}{OC} = \frac{h}{L}$

Приравнивая два полученных выражения для $\sin\alpha$, получаем:

$\frac{h}{L} = \frac{1}{2}$

Отсюда выражаем искомое расстояние $\text{L}$:

$L = 2h$

Подставляем заданное значение высоты $h = 5$ км:

$L = 2 \cdot 5 \text{ км} = 10 \text{ км}$

Ответ: расстояние от наблюдателя до самолета в тот момент, когда человек услышал звук, составляло $\text{10}$ км.