Номер 7.29, страница 41 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.29, страница 41.

Условие.

7.29*. Над цилиндрическим сосудом высотой $H = 1$ м звучит камертон с частотой колебаний $v = 340$ Гц. В сосуд медленно наливают воду. При каких положениях уровня воды в сосуде звучание камертона значительно усиливается?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$H = 1 \text{ м}$

$\nu = 340 \text{ Гц}$

Скорость звука в воздухе примем равной $v = 340 \text{ м/с}$.

Найти:

$\text{h}$ — положения уровня воды, при которых происходит усиление звука.

Решение:

Значительное усиление звучания камертона происходит в моменты акустического резонанса. Столб воздуха над водой в цилиндрическом сосуде представляет собой резонатор, который можно считать закрытым с одного конца (у поверхности воды) и открытым с другого (у края сосуда). Резонанс возникает, когда в столбе воздуха образуется стоячая волна.

Условие возникновения резонанса (образования стоячей волны) для столба воздуха длиной $\text{L}$, закрытого с одного конца, имеет вид:

$L = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$

где $\lambda$ — длина звуковой волны, а $\text{n}$ — целое положительное число ($n=1, 2, 3, ...$), соответствующее номеру гармоники.

Сначала определим длину волны звука, зная его частоту и скорость распространения в воздухе:

$\lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{340 \text{ м/с}}{340 \text{ Гц}} = 1 \text{ м}$

Теперь мы можем найти возможные длины воздушного столба $L_n$, при которых будет наблюдаться резонанс:

$L_n = (2n - 1) \frac{1 \text{ м}}{4}$

Длина воздушного столба $\text{L}$ не может превышать высоту сосуда $\text{H}$, то есть должно выполняться условие $L_n \le H$.

$(2n - 1) \frac{1}{4} \le 1$

$2n - 1 \le 4$

$2n \le 5$

$n \le 2.5$

Поскольку $\text{n}$ может быть только целым положительным числом, возможными значениями для $\text{n}$ являются 1 и 2.

Найдем соответствующие этим значениям $\text{n}$ резонансные длины воздушного столба $L_n$:

При $n=1$: $L_1 = (2 \cdot 1 - 1) \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ м}$

При $n=2$: $L_2 = (2 \cdot 2 - 1) \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75 \text{ м}$

Длина воздушного столба $\text{L}$ связана с высотой сосуда $\text{H}$ и высотой уровня воды $\text{h}$ (от дна сосуда) соотношением $L = H - h$. Отсюда мы можем найти искомые положения уровня воды $\text{h}$:

$h = H - L$

Для $L_1 = 0.25 \text{ м}$ находим первое положение уровня воды $h_1$:

$h_1 = 1 \text{ м} - 0.25 \text{ м} = 0.75 \text{ м}$

Для $L_2 = 0.75 \text{ м}$ находим второе положение уровня воды $h_2$:

$h_2 = 1 \text{ м} - 0.75 \text{ м} = 0.25 \text{ м}$

Ответ: звучание камертона значительно усилится, когда высота уровня воды в сосуде от дна составит 0,75 м и 0,25 м.