Номер 7.22, страница 40 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.22, страница 40.

Условие.

7.22** Невесомый стержень с закрепленными на нем грузами (см. рисунок) может вращаться вокруг горизонтальной оси $\text{O}$. Каков период $\text{T}$ его малых колебаний?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса первого груза: $m_1$

Масса второго груза: $m_2$

Расстояние от оси вращения до первого груза: $l_1$

Расстояние от оси вращения до второго груза: $l_2$

Стержень невесомый.

Найти:

Период малых колебаний системы $\text{T}$.

Решение:

Система, состоящая из невесомого стержня и двух грузов, вращающаяся вокруг оси, не проходящей через центр масс, представляет собой физический маятник. Период малых колебаний физического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

где $\text{I}$ — момент инерции системы относительно оси вращения, $\text{m}$ — полная масса системы, $\text{d}$ — расстояние от оси вращения до центра масс системы, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Найдем каждую из этих величин для нашей системы.

1. Момент инерции $\text{I}$.

Так как стержень невесом, его моментом инерции можно пренебречь. Грузы можно считать материальными точками. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции двух грузов относительно оси вращения O:

$I = I_1 + I_2 = m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2$

2. Полная масса системы $\text{m}$.

Полная масса системы равна сумме масс двух грузов:

$m = m_1 + m_2$

3. Расстояние $\text{d}$ до центра масс.

Введем систему координат, направив ось $\text{x}$ вдоль стержня, с началом в точке O. Тогда координаты грузов будут $x_1 = -l_1$ и $x_2 = l_2$. Координата центра масс $x_C$ находится по формуле:

$x_C = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1(-l_1) + m_2 l_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 l_2 - m_1 l_1}{m_1 + m_2}$

Расстояние $\text{d}$ от оси вращения O до центра масс является модулем этой координаты:

$d = |x_C| = \frac{|m_2 l_2 - m_1 l_1|}{m_1 + m_2}$

Теперь подставим найденные выражения для $\text{I}$, $\text{m}$ и $\text{d}$ в формулу периода колебаний физического маятника:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2}{(m_1 + m_2)g \frac{|m_2 l_2 - m_1 l_1|}{m_1 + m_2}}}$

Сократим множитель $(m_1 + m_2)$ в знаменателе:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2}{g |m_2 l_2 - m_1 l_1|}}$

Эта формула дает период малых колебаний системы. Колебания возможны только в том случае, если центр масс не совпадает с осью вращения, то есть $m_1 l_1 \neq m_2 l_2$. Если $m_1 l_1 = m_2 l_2$, знаменатель обращается в ноль, и период стремится к бесконечности, что соответствует безразличному равновесию системы.

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2}{g |m_2 l_2 - m_1 l_1|}}$