Номер 7.20, страница 40 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.20, страница 40.

Условие.

7.20*. Найдите период колебаний жидкости в U-образном сосуде постоянного сечения. Длина всего столба жидкости равна $\text{2H}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

U-образный сосуд постоянного поперечного сечения.

Длина всего столба жидкости: $L = 2H$.

Найти:

Период колебаний жидкости $\text{T}$.

Решение:

Пусть $\text{S}$ — площадь поперечного сечения сосуда, а $\rho$ — плотность жидкости. В положении равновесия уровни жидкости в обоих коленах сосуда одинаковы. Выберем этот уровень в качестве начала отсчета координаты $\text{x}$, т.е. $x=0$.

Если сместить жидкость из положения равновесия, например, так, что в левом колене уровень опустится на $\text{x}$, то в правом колене, из-за несжимаемости жидкости и постоянства сечения, уровень поднимется на ту же величину $\text{x}$. В результате разность уровней жидкости в коленах составит $\Delta h = x - (-x) = 2x$.

Эта разность уровней создает избыточное гидростатическое давление, которое порождает возвращающую силу, стремящуюся вернуть систему в положение равновесия. Эта сила равна весу столба жидкости высотой $\Delta h = 2x$. Масса этого столба жидкости $\Delta m = \rho V_{изб} = \rho S \Delta h = \rho S (2x)$.

Возвращающая сила $\text{F}$, действующая на всю массу жидкости, равна:

$F = -\Delta m \cdot g = -2\rho S g x$

Знак «минус» указывает, что сила направлена в сторону, противоположную смещению $\text{x}$.

Вся жидкость в сосуде, общая длина которой $L=2H$, приходит в движение. Её полная масса равна:

$m = \rho V_{полн} = \rho S L = \rho S (2H)$

Согласно второму закону Ньютона, $F=ma$, где $a = \ddot{x}$ — ускорение жидкости. Запишем уравнение движения:

$-2\rho S g x = (\rho S \cdot 2H) \ddot{x}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $2\rho S$:

$-g x = H \ddot{x}$

Перепишем это уравнение в стандартном виде дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$:

$\ddot{x} + \frac{g}{H} x = 0$

Сравнивая полученное уравнение со стандартным, находим квадрат циклической (угловой) частоты колебаний $\omega$:

$\omega^2 = \frac{g}{H}$, следовательно, $\omega = \sqrt{\frac{g}{H}}$.

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой известным соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Подставив найденное выражение для $\omega$, получим:

$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{H}}} = 2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}$