Номер 7.26, страница 41 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.26, страница 41.

Условие.

7.26. По шнуру слева направо бежит со скоростью $\text{v}$ незатухающая гармоническая волна. При этом поперечное смещение точки $\text{O}$ шнура изменяется по закону $y = A\cos\omega t$. Как зависит от времени смещение точки шнура, находящейся правее точки $\text{O}$ на расстоянии $\text{x}$ от нее?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость распространения волны: $\text{v}$

Закон поперечного смещения точки О (при $x=0$): $y = A\cos\omega t$

Направление распространения волны: слева направо (вдоль положительного направления оси $\text{x}$).

Расстояние от точки О до искомой точки: $\text{x}$

Найти:

Зависимость смещения $\text{y}$ от времени $\text{t}$ для точки, находящейся на расстоянии $\text{x}$ от точки О.

Решение:

Общее уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси $\text{x}$, имеет вид:

$y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)$

где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\text{k}$ — волновое число, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний в точке $x=0$.

По условию задачи, для точки О, которую мы принимаем за начало отсчета ($x=0$), смещение изменяется по закону:

$y(0, t) = A\cos\omega t$

Подставим $x=0$ в общее уравнение волны:

$y(0, t) = A \cos(\omega t - k \cdot 0 + \phi_0) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

Сравнивая это выражение с условием задачи, приходим к выводу, что начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Таким образом, уравнение данной волны записывается как:

$y(x, t) = A \cos(\omega t - kx)$

Волновое число $\text{k}$ связано со скоростью распространения волны $\text{v}$ и циклической частотой $\omega$ следующим соотношением:

$v = \frac{\omega}{k}$, откуда $k = \frac{\omega}{v}$

Подставим это выражение для волнового числа в уравнение волны:

$y(x, t) = A \cos\left(\omega t - \frac{\omega}{v}x\right)$

Вынося $\omega$ за скобки в аргументе косинуса, получаем окончательное выражение для смещения точки, находящейся на расстоянии $\text{x}$ правее точки О:

$y(x, t) = A \cos\left(\omega \left(t - \frac{x}{v}\right)\right)$

Физический смысл этого выражения заключается в том, что колебания в точке $\text{x}$ повторяют колебания в точке $\text{O}$ ($x=0$), но с запаздыванием по времени на величину $\Delta t = \frac{x}{v}$, которая равна времени, за которое волна проходит расстояние $\text{x}$.

Ответ: $y(x, t) = A \cos\left(\omega \left(t - \frac{x}{v}\right)\right)$.