Номер 7.24, страница 41 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.24, страница 41.

Условие.

7.24. Горизонтальная подставка совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой $A = 5 \text{ мм}$. При какой частоте колебаний лежащий на подставке брусок не отрывается от нее?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 5$ мм.

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с².

Перевод в систему СИ:

$A = 5 \cdot 10^{-3}$ м.

Найти:

Частоту колебаний $\nu$, при которой брусок не отрывается от подставки.

Решение:

На брусок, находящийся на колеблющейся подставке, действуют две силы в вертикальном направлении: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная вверх. Выберем ось OY, направленную вертикально вверх.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает бруску ускорение $\text{a}$:

$N - mg = ma$

Отсюда выразим силу нормальной реакции опоры:

$N = m(g + a)$

Поскольку подставка совершает гармонические колебания, ее ускорение $\text{a}$ постоянно меняется. Уравнение гармонических колебаний для смещения $\text{y}$ можно записать как $y(t) = A \cos(\omega t)$, где $\omega = 2\pi\nu$ - циклическая частота.

Ускорение тела при гармонических колебаниях равно второй производной от смещения по времени:

$a(t) = y''(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t)$

Подставим выражение для ускорения в формулу для силы реакции опоры:

$N(t) = m(g - A\omega^2 \cos(\omega t))$

Брусок не отрывается от подставки до тех пор, пока сила реакции опоры $\text{N}$ не станет равной нулю, то есть должно выполняться условие $N \ge 0$.

$m(g - A\omega^2 \cos(\omega t)) \ge 0$

$g \ge A\omega^2 \cos(\omega t)$

Это неравенство должно быть справедливым в любой момент времени $\text{t}$. Наиболее критический момент наступает, когда величина $A\omega^2 \cos(\omega t)$ максимальна. Максимальное значение $\cos(\omega t)$ равно 1, что соответствует верхней точке траектории ($y = A$). В этой точке ускорение направлено вниз и имеет максимальную величину $a_{max} = A\omega^2$.

Следовательно, для того чтобы брусок не отрывался, должно выполняться условие:

$g \ge A\omega^2$

Отрыв произойдет, когда ускорение подставки, направленное вниз, превысит по модулю ускорение свободного падения. Предельная частота, при которой брусок еще не отрывается, соответствует равенству:

$A\omega_{max}^2 = g$

Отсюда найдем максимальную циклическую частоту $\omega_{max}$:

$\omega_{max} = \sqrt{\frac{g}{A}}$

Связь между циклической частотой $\omega$ и линейной частотой $\nu$ дается формулой $\omega = 2\pi\nu$. Тогда максимальная линейная частота $\nu_{max}$ будет:

$2\pi\nu_{max} = \sqrt{\frac{g}{A}}$

$\nu_{max} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{A}}$

Брусок не будет отрываться от подставки при любой частоте $\nu$, удовлетворяющей условию $\nu \le \nu_{max}$.

Подставим числовые значения:

$\nu_{max} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2}{5 \cdot 10^{-3} \text{ м}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{1960 \text{ с}^{-2}} \approx \frac{44.27}{2 \cdot 3.1416} \approx 7.05$ Гц.

Таким образом, чтобы брусок не отрывался от подставки, частота колебаний не должна превышать это значение.

Ответ: Брусок не отрывается от подставки при частоте колебаний $\nu \le 7.05$ Гц.