Номер 7.25, страница 41 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.25, страница 41.

Условие.

7.25* К пружине, имеющей жесткость $\text{k}$, подвешена чашка. На чашку с высоты $\text{h}$ падает без начальной скорости липкий шарик массой $\text{m}$. Найдите амплитуду $\text{A}$ возникающих колебаний. Массами пружины и чашки можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Жесткость пружины: $\text{k}$

Масса шарика: $\text{m}$

Высота падения: $\text{h}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Амплитуда колебаний: $\text{A}$

Решение:

Решение задачи можно разделить на три этапа: свободное падение шарика, его абсолютно неупругое соударение с чашкой и последующие гармонические колебания системы.

1. Скорость шарика перед ударом.
Найдём скорость шарика $v_1$ непосредственно перед ударом о чашку, используя закон сохранения механической энергии. Потенциальная энергия шарика $mgh$, которой он обладал на высоте $\text{h}$ (относительно положения чашки), полностью переходит в его кинетическую энергию в момент удара:

$mgh = \frac{1}{2}mv_1^2$

Отсюда скорость шарика перед ударом:

$v_1 = \sqrt{2gh}$

2. Скорость системы после удара.
Шарик сталкивается с чашкой и прилипает к ней, что является абсолютно неупругим ударом. Поскольку массами пружины и чашки можно пренебречь, масса колеблющейся системы будет равна массе шарика $\text{m}$. Соударение происходит мгновенно, поэтому для системы «шарик-чашка» в момент удара можно применить закон сохранения импульса:

$mv_1 + 0 \cdot v_{чашки} = (m + 0)v_2$

где $v_2$ – скорость системы сразу после удара. Отсюда следует, что:

$v_2 = v_1 = \sqrt{2gh}$

Этот момент времени ($t=0$) является началом колебательного процесса. В этот момент система находится в исходном положении чашки (когда пружина не растянута силой тяжести шарика).

3. Амплитуда колебаний.
После прилипания шарика система «шарик-пружина» начинает совершать гармонические колебания вокруг нового положения равновесия. Это положение равновесия смещено вниз относительно начального положения чашки на величину $x_0$, при которой сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести шарика $\text{mg}$:

$kx_0 = mg \implies x_0 = \frac{mg}{k}$

Полная механическая энергия $\text{E}$ системы в процессе колебаний остается постоянной. Эту энергию можно выразить через амплитуду колебаний $\text{A}$ как максимальную потенциальную энергию системы:

$E = \frac{1}{2}kA^2$

С другой стороны, полную энергию можно вычислить для начального момента колебаний ($t=0$). В этот момент система находится в положении, которое выше нового положения равновесия на $x_0$, то есть координата системы относительно нового положения равновесия равна $x_{нач} = -x_0 = -\frac{mg}{k}$. Скорость системы в этот момент равна $v_{нач} = v_2 = \sqrt{2gh}$.

Полная энергия в начальный момент складывается из кинетической энергии и потенциальной энергии упругой деформации пружины (отсчитанной от нового положения равновесия):

$E = \frac{1}{2}mv_{нач}^2 + \frac{1}{2}kx_{нач}^2$

Подставим значения $x_{нач}$ и $v_{нач}$:

$E = \frac{1}{2}m(\sqrt{2gh})^2 + \frac{1}{2}k\left(-\frac{mg}{k}\right)^2 = mgh + \frac{1}{2}k\frac{m^2g^2}{k^2} = mgh + \frac{m^2g^2}{2k}$

Приравнивая два полученных выражения для полной энергии, имеем:

$\frac{1}{2}kA^2 = mgh + \frac{m^2g^2}{2k}$

Выразим отсюда квадрат амплитуды, умножив обе части на $\frac{2}{k}$:

$A^2 = \frac{2mgh}{k} + \frac{m^2g^2}{k^2}$

Следовательно, амплитуда колебаний равна:

$A = \sqrt{\frac{2mgh}{k} + \left(\frac{mg}{k}\right)^2}$

Ответ: $A = \sqrt{\frac{2mgh}{k} + \left(\frac{mg}{k}\right)^2}$