Номер 7.23, страница 41 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.23, страница 41.

Условие.

7.23*. Горизонтальная подставка с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебания с периодом $T = 0,5$ с. Коэффициент трения бруска о подставку $\mu = 0,1$. При какой амплитуде колебаний $\text{A}$ брусок проскальзывает на подставке при колебаниях?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$T = 0,5 \text{ с}$
$\mu = 0,1$
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{A}$

Решение:

Брусок движется вместе с подставкой без проскальзывания за счет силы трения покоя. Согласно второму закону Ньютона, в горизонтальном направлении на брусок действует только сила трения $F_{тр}$, которая и сообщает ему ускорение $\text{a}$:

$F_{тр} = ma$

В вертикальном направлении на брусок действуют сила тяжести $\text{mg}$ и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$. Так как в вертикальном направлении движения нет, эти силы уравновешивают друг друга:

$N = mg$

Сила трения покоя не может превышать своего максимального значения, которое определяется как:

$F_{тр.макс} = \mu N = \mu mg$

Движение бруска вместе с подставкой возможно, пока требуемое для этого ускорение $\text{a}$ не превысит максимального значения $a_{макс}$, которое может обеспечить сила трения покоя. Условие движения без проскальзывания:

$ma \le F_{тр.макс} \implies ma \le \mu mg \implies a \le \mu g$

Проскальзывание начнется в тот момент, когда ускорение подставки (а значит, и бруска) достигнет максимального значения, равного $\mu g$.

Подставка совершает гармонические колебания, и ее ускорение изменяется по закону $a(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t)$, где $\text{A}$ — амплитуда колебаний, а $\omega$ — циклическая частота. Максимальное значение ускорения по модулю составляет:

$a_{max} = A\omega^2$

Проскальзывание начнется при условии, что максимальное ускорение подставки станет равным или превысит $\mu g$. Найдем минимальную амплитуду, при которой это произойдет:

$a_{max} = \mu g$

$A\omega^2 = \mu g$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $\text{T}$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это выражение в наше уравнение:

$A \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \mu g$

Отсюда выразим амплитуду $\text{A}$:

$A = \frac{\mu g T^2}{4\pi^2}$

Подставим числовые значения:

$A = \frac{0,1 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (0,5 \text{ с})^2}{4\pi^2} = \frac{0,98 \cdot 0,25}{4\pi^2} \text{ м} \approx \frac{0,245}{4 \cdot 9,87} \text{ м} \approx 0,0062 \text{ м}$

Таким образом, брусок начнет проскальзывать при амплитуде колебаний, равной или большей 0,0062 м (или 6,2 мм).

Ответ: $A \ge 6,2 \text{ мм}$.