Номер 7.19, страница 40 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.19, страница 40.

Условие.

7.19*. Санки длиной $l = 80$ см скользят горизонтально по снегу и останавливаются, частично въехав на асфальт. Найдите время торможения $\text{t}$. Трением о снег можно пренебречь, а коэффициент трения об асфальт $\mu = 0,4$. Считайте, что масса санок распределена по их длине равномерно.

Решение.

Решение 2.

Дано

$l = 80 \text{ см}$

$\mu = 0,4$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$l = 0,8 \text{ м}$

Найти:

$\text{t}$ — время торможения.

Решение:

Процесс торможения начинается в тот момент, когда передний край санок въезжает на асфальт, и заканчивается, когда санки полностью останавливаются. Введем систему координат, в которой ось $\text{Ox}$ направлена по движению санок, а начало координат ($x=0$) совпадает с границей снега и асфальта.

Пусть в некоторый момент времени $\text{t}$ передний край санок находится в точке с координатой $\text{x}$. Поскольку масса санок $\text{m}$ распределена равномерно по длине $\text{l}$, то масса части санок, находящейся на асфальте, будет пропорциональна ее длине $\text{x}$:

$m_x = \frac{m}{l}x$

На эту часть санок действует сила нормальной реакции $N_x = m_x g = \frac{mg}{l}x$.

Сила трения, действующая на санки, создается только той их частью, которая находится на асфальте (трением о снег пренебрегаем). Эта сила равна:

$F_{тр} = \mu N_x = \frac{\mu mg}{l}x$

Согласно второму закону Ньютона, эта сила создает ускорение $\text{a}$, направленное против движения:

$ma = -F_{тр}$

$ma = -\frac{\mu mg}{l}x$

Сократив массу $\text{m}$, получим выражение для ускорения:

$a(x) = -\frac{\mu g}{l}x$

Ускорение является второй производной от координаты по времени: $a = \frac{d^2x}{dt^2}$. Таким образом, мы получаем дифференциальное уравнение движения санок:

$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{\mu g}{l}x$

Это уравнение описывает гармонические колебания вида $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$, где циклическая частота $\omega$ равна:

$\omega = \sqrt{\frac{\mu g}{l}}$

Движение санок во время торможения является частью одного такого колебания. В начальный момент времени ($t=0$) санки находятся в положении $x=0$ и имеют некоторую начальную скорость $v_0$. Они останавливаются, когда их скорость становится равной нулю. В модели гармонического осциллятора это соответствует движению из положения равновесия до точки максимального отклонения (амплитуды). Время такого движения составляет четверть периода колебаний $\text{T}$.

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой $\omega$ соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Время торможения $\text{t}$ будет равно четверти периода:

$t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi}{2\omega}$

Подставим выражение для $\omega$:

$t = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{l}{\mu g}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$t = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{0,8 \text{ м}}{0,4 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{0,8}{3,92}} \approx \frac{3,14}{2} \sqrt{0,204} \approx 1,57 \cdot 0,452 \approx 0,71 \text{ с}$

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{l}{\mu g}} \approx 0,71 \text{ с}$.