Номер 7.13, страница 39 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.13, страница 39.

Условие.

7.13**. На гладком столе лежат два грузика массами $m_1 = 100 \text{ г}$ и $m_2 = 300 \text{ г}$, соединенные легкой пружиной жесткостью $k = 50 \text{ Н/м}$. Один из грузиков касается стенки (см. рисунок). Грузики связаны нитью длиной $l_0 = 6 \text{ см}$, при этом пружина сжата на $\Delta l = 2 \text{ см}$. Опишите движение грузиков после того, как нить пережигают.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 100 \text{ г}$
$m_2 = 300 \text{ г}$
$k = 50 \text{ Н/м}$
$l_0 = 6 \text{ см}$
$\Delta l = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 0.1 \text{ кг}$
$m_2 = 0.3 \text{ кг}$
$l_0 = 0.06 \text{ м}$
$\Delta l = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Описать движение грузиков после пережигания нити.

Решение:

Движение системы после пережигания нити можно разделить на два основных этапа. Сначала, пока пружина остается сжатой, она толкает оба груза. Груз $m_1$ прижимается к стенке, а на груз $m_2$ действует неуравновешенная сила упругости, заставляя его двигаться вправо. Груз $m_1$ остается неподвижным до тех пор, пока пружина не расширится до своей естественной, недеформированной длины. В этот момент сила, действующая на $m_1$ со стороны пружины, станет равной нулю, и при дальнейшем растяжении пружины груз $m_1$ оторвется от стенки.

Найдем скорость груза $m_2$ в момент отрыва груза $m_1$ от стенки. На этом первом этапе применим закон сохранения энергии для системы "груз $m_2$ + пружина". Начальная потенциальная энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию груза $m_2$:

$\frac{k (\Delta l)^2}{2} = \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Отсюда скорость $v_2$ груза $m_2$ в момент, когда пружина достигает естественной длины:

$v_2 = \Delta l \sqrt{\frac{k}{m_2}} = 0.02 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{50 \text{ Н/м}}{0.3 \text{ кг}}} \approx 0.258 \text{ м/с}$

В этот момент скорость груза $m_1$ все еще равна нулю ($v_1 = 0$).

С момента отрыва груза $m_1$ от стенки, система из двух грузов и пружины становится замкнутой, так как внешние горизонтальные силы на нее не действуют (поверхность гладкая). Поэтому дальнейшее движение можно описать как поступательное движение центра масс системы с постоянной скоростью и колебательное движение грузов относительно центра масс. Скорость центра масс $V_{цм}$ найдем из закона сохранения импульса:

$V_{цм} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.1 \cdot 0 + 0.3 \cdot 0.258}{0.1 + 0.3} = \frac{0.0774}{0.4} \approx 0.194 \text{ м/с}$

Итак, центр масс системы будет двигаться вправо с постоянной скоростью $V_{цм} \approx 0.194 \text{ м/с}$.

Теперь определим параметры колебаний грузов относительно центра масс. Период этих колебаний $\text{T}$ зависит от жесткости пружины $\text{k}$ и приведенной массы системы $\mu$:

$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.1 \cdot 0.3}{0.1 + 0.3} = 0.075 \text{ кг}$

$T = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.075}{50}} \approx 0.243 \text{ с}$

Амплитуду $\text{A}$ деформации пружины в процессе колебаний найдем из закона сохранения энергии для колебательного движения. В момент отрыва $m_1$ от стенки пружина не деформирована, и вся энергия колебательного движения является кинетической. Эта энергия равна полной энергии системы в системе отсчета центра масс. Она же равна максимальной потенциальной энергии пружины при колебаниях $k A^2 / 2$.

Энергию колебательного движения можно найти как: $E_{кол} = \frac{\mu v_{отн}^2}{2}$, где $v_{отн} = v_2 - v_1 = v_2$ - относительная скорость грузов в момент начала второго этапа.

$\frac{k A^2}{2} = \frac{\mu v_2^2}{2}$

Подставим выражение для $v_2$:

$A^2 = \frac{\mu}{k} v_2^2 = \frac{\mu}{k} \left( (\Delta l)^2 \frac{k}{m_2} \right) = (\Delta l)^2 \frac{\mu}{m_2}$

$A = \Delta l \sqrt{\frac{\mu}{m_2}} = \Delta l \sqrt{\frac{m_1 m_2}{(m_1+m_2)m_2}} = \Delta l \sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}}$

$A = 0.02 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{0.1}{0.1+0.3}} = 0.02 \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} = 0.01 \text{ м} = 1 \text{ см}$

Это амплитуда растяжения/сжатия пружины относительно ее естественной длины. Найдем саму естественную длину пружины $L_{нед}$. Изначально расстояние между грузами было $l_0 = 6 \text{ см}$, а пружина была сжата на $\Delta l = 2 \text{ см}$. Следовательно:

$L_{нед} = l_0 + \Delta l = 6 \text{ см} + 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$

Таким образом, во время колебаний расстояние между грузами будет изменяться в пределах от $L_{min} = L_{нед} - A = 8 - 1 = 7 \text{ см}$ до $L_{max} = L_{нед} + A = 8 + 1 = 9 \text{ см}$.

Ответ:

После пережигания нити груз $m_2$ начинает движение вправо, в то время как груз $m_1$ остается неподвижным у стенки. Это продолжается до тех пор, пока пружина не вернется в недеформированное состояние. С этого момента груз $m_1$ отрывается от стенки, и дальнейшее движение системы представляет собой наложение двух движений: поступательного движения центра масс системы вправо с постоянной скоростью около $0.194 \text{ м/с}$ и гармонических колебаний грузов относительно центра масс с периодом около $0.243 \text{ с}$. Во время этих колебаний расстояние между грузами изменяется в пределах от $7 \text{ см}$ до $9 \text{ см}$.