Номер 7.7, страница 38 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.7, страница 38.

Условие.

7.7*. Чему равен период $\text{T}$ колебаний математического маятника длиной $\text{l}$:

а) в лифте, ускорение которого направлено вверх и равно $\text{a}$;

б) в лифте, ускорение которого направлено вниз ($a < g$);

в) в поезде, движущемся горизонтально с ускорением $\text{a}$;

г) на тяжелой тележке, съезжающей без трения с наклонной плоскости под углом $\alpha$ к горизонту?

Чему равен во всех этих случаях период колебаний пружинного маятника?

Решение.

Решение 2.

Период колебаний математического маятника в общем случае определяется формулой $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$, где $\text{l}$ — длина маятника, а $g_{eff}$ — эффективное ускорение свободного падения, которое зависит от ускорения системы отсчета. Эффективное ускорение свободного падения равно модулю векторной разности ускорения свободного падения $\vec{g}$ и ускорения $\vec{a}$ неинерциальной системы отсчета: $g_{eff} = |\vec{g} - \vec{a}|$.

а) В лифте, ускорение которого $\vec{a}$ направлено вверх, вектор $\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{g}$. В неинерциальной системе отсчета, связанной с лифтом, на маятник действует сила инерции, направленная вниз, то есть в ту же сторону, что и сила тяжести. Таким образом, эффективное ускорение $g_{eff}$ равно сумме модулей: $g_{eff} = g + a$.

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$

б) В лифте, ускорение которого $\vec{a}$ направлено вниз, вектор $\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{g}$. Сила инерции направлена вверх, против силы тяжести. Эффективное ускорение $g_{eff}$ равно разности модулей: $g_{eff} = g - a$.

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$

в) В поезде, движущемся горизонтально с ускорением $\vec{a}$, вектор $\vec{g}$ направлен вертикально вниз, а вектор $\vec{a}$ — горизонтально. Векторы $\vec{g}$ и $-\vec{a}$ взаимно перпендикулярны. Модуль их векторной суммы $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$ находится по теореме Пифагора: $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$.

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2+a^2}}}$

г) Тележка, съезжающая без трения с наклонной плоскости под углом $\alpha$, движется с ускорением $a = g \sin\alpha$, направленным вдоль плоскости. Эффективное ускорение $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$. Вектор $\vec{g}$ можно разложить на две составляющие: параллельную плоскости $g_{\parallel} = g \sin\alpha$ и перпендикулярную ей $g_{\perp} = g \cos\alpha$. Ускорение тележки $\vec{a}$ полностью компенсирует параллельную составляющую ускорения свободного падения. Таким образом, эффективное ускорение будет равно перпендикулярной составляющей: $g_{eff} = g \cos\alpha$.

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g \cos\alpha}}$

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$, где $\text{m}$ — масса груза, а $\text{k}$ — жесткость пружины. Эта формула не зависит от ускорения свободного падения или ускорения системы отсчета. Ускорение влияет только на положение равновесия маятника, но не на период колебаний вокруг этого положения.

Ответ: Период колебаний пружинного маятника во всех случаях останется неизменным и равным $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.