Номер 7.3, страница 37 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.3, страница 37.

Условие.

7.3*. Конический маятник (см. задачу 2.30) освещают горизонтальным параллельным пучком света. С какой скоростью движется тень шарика на стене в тот момент, когда тень удалена от своего среднего положения на $x = 5 \text{ см}$? Длина нити маятника $l = 2 \text{ м}$, шарик описывает окружность радиусом $r = 10 \text{ см}$. Свет падает на стену нормально.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$x = 5$ см

$l = 2$ м

$r = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$x = 0.05$ м

$r = 0.1$ м

Найти:

$v_{т}$ - скорость тени шарика.

Решение:

Шарик конического маятника движется по окружности в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью $\omega$. Горизонтальный параллельный пучок света, падающий на стену нормально, создает на ней тень шарика. Движение этой тени является проекцией равномерного движения по окружности на прямую. Такое движение является простым гармоническим колебанием (ГК).

Координата тени $\text{x}$ изменяется со временем по закону: $x(t) = A \sin(\omega t)$, где амплитуда колебаний $\text{A}$ равна радиусу окружности $\text{r}$.

Таким образом, $x(t) = r \sin(\omega t)$.

Скорость тени $v_{т}$ является производной от координаты по времени:

$v_{т}(t) = \frac{dx}{dt} = (r \sin(\omega t))' = r\omega \cos(\omega t)$.

Чтобы выразить скорость через координату, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t) = 1$.

Из уравнений для координаты и скорости имеем:

$\sin(\omega t) = \frac{x}{r}$

$\cos(\omega t) = \frac{v_{т}}{r\omega}$

Подставив эти выражения в тождество, получим:

$(\frac{x}{r})^2 + (\frac{v_{т}}{r\omega})^2 = 1$

Отсюда выразим скорость тени $v_{т}$:

$\frac{v_{т}^2}{r^2\omega^2} = 1 - \frac{x^2}{r^2} = \frac{r^2 - x^2}{r^2}$

$v_{т}^2 = \omega^2(r^2 - x^2)$

Скорость (модуль скорости) равна $v_{т} = \omega\sqrt{r^2 - x^2}$.

Для нахождения скорости тени необходимо определить угловую скорость $\omega$ движения шарика. Рассмотрим силы, действующие на шарик: сила тяжести $\text{mg}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити. Пусть нить образует с вертикалью угол $\alpha$.

В проекциях на вертикальную и горизонтальную оси второй закон Ньютона запишется так:

Вертикальная ось OY: $T \cos \alpha - mg = 0 \implies T \cos \alpha = mg$.

Горизонтальная ось OX (направлена к центру окружности): $T \sin \alpha = ma_ц$, где $a_ц = \omega^2 r$ - центростремительное ускорение.

Следовательно, $T \sin \alpha = m\omega^2 r$.

Разделив второе уравнение на первое, получим:

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{m\omega^2 r}{mg} \implies \tan \alpha = \frac{\omega^2 r}{g}$.

Из геометрии маятника видно, что $\sin \alpha = \frac{r}{l}$. Высота конуса (расстояние от точки подвеса до плоскости вращения) равна $h = \sqrt{l^2 - r^2}$.

Тогда $\tan \alpha = \frac{r}{h} = \frac{r}{\sqrt{l^2 - r^2}}$.

Приравняем два выражения для тангенса угла:

$\frac{\omega^2 r}{g} = \frac{r}{\sqrt{l^2 - r^2}}$

Отсюда найдем квадрат угловой скорости:

$\omega^2 = \frac{g}{\sqrt{l^2 - r^2}}$

Теперь подставим это выражение для $\omega^2$ в формулу для квадрата скорости тени:

$v_{т}^2 = \frac{g}{\sqrt{l^2 - r^2}}(r^2 - x^2)$

Подставим числовые значения в системе СИ (примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$):

$v_{т}^2 = \frac{9.8}{\sqrt{2^2 - 0.1^2}}(0.1^2 - 0.05^2) = \frac{9.8}{\sqrt{4 - 0.01}}(0.01 - 0.0025) = \frac{9.8}{\sqrt{3.99}}(0.0075)$

$v_{т}^2 \approx \frac{9.8}{1.9975} \cdot 0.0075 \approx 4.9061 \cdot 0.0075 \approx 0.0368$ м$^2$/с$^2$

$v_{т} = \sqrt{0.0368} \approx 0.192$ м/с.

Ответ: $v_{т} \approx 0.192$ м/с.