Номер 6.29, страница 37 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.29, страница 37.

Условие.

6.29. Пробковый поплавок массой $\text{m}$, привязанный нитью к камню, находится на глубине $\text{h}$ под водой. Какое количество теплоты $\text{Q}$ выделится после перерезания нити?

Решение.

Решение 2.

Дано:

m - масса пробкового поплавка

h - начальная глубина поплавка под водой

Найти:

Q - количество теплоты

Решение:

После того как нить перерезают, поплавок начинает всплывать под действием выталкивающей силы Архимеда. Двигаясь в воде, поплавок испытывает силу сопротивления (вязкого трения), работа которой приводит к выделению теплоты. В конечном итоге поплавок останавливается и плавает на поверхности воды.

Рассмотрим систему, состоящую из поплавка и воды. Начальная и конечная скорости поплавка равны нулю, поэтому изменение кинетической энергии системы равно нулю. Согласно закону сохранения энергии, изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил, то есть работе силы сопротивления воды. Эта работа, взятая с обратным знаком, равна выделившемуся количеству теплоты $\text{Q}$.

$Q = -A_{сопр}$

По теореме об изменении механической энергии:

$\Delta E_{мех} = \Delta E_k + \Delta E_p = A_{сопр}$

Поскольку изменение кинетической энергии $\Delta E_k = 0$, то

$A_{сопр} = \Delta E_p$

Следовательно, выделившаяся теплота равна убыли потенциальной энергии системы "поплавок-вода":

$Q = -\Delta E_p = E_{p, нач} - E_{p, кон}$

Изменение потенциальной энергии системы складывается из изменения потенциальной энергии поплавка и изменения потенциальной энергии воды. Выберем уровень поверхности воды за нулевой уровень потенциальной энергии ($y=0$).

1. Изменение потенциальной энергии поплавка. В начальном состоянии поплавок находится на глубине $\text{h}$ (координата $y_1 = -h$). В конечном состоянии он плавает на поверхности. Для упрощения будем считать, что центр масс поплавка поднимается на высоту $\text{h}$ и оказывается на уровне поверхности ($y_2 = 0$). Это допущение справедливо, если глубина $\text{h}$ значительно больше размеров поплавка. Изменение потенциальной энергии поплавка: $\Delta E_{p, поплавок} = mgy_2 - mgy_1 = mg(0) - mg(-h) = mgh$

2. Изменение потенциальной энергии воды. Когда поплавок объемом $\text{V}$ поднимается с глубины $\text{h}$ на поверхность, его место занимает вода. Эффективно это эквивалентно тому, что объем воды $\text{V}$, ранее находившийся у поверхности, опустился на глубину $\text{h}$. Масса этого объема воды равна $m_в = \rho_в V$, где $\rho_в$ — плотность воды. Изменение потенциальной энергии воды: $\Delta E_{p, вода} = m_в g(-h) - m_в g(0) = -\rho_в Vgh$

Суммарное изменение потенциальной энергии системы:

$\Delta E_p = \Delta E_{p, поплавок} + \Delta E_{p, вода} = mgh - \rho_в Vgh = -( \rho_в V - m )gh$

Тогда выделившееся количество теплоты:

$Q = -\Delta E_p = (\rho_в V - m)gh$

Объем поплавка $\text{V}$ не дан в условии. Выразим его через массу поплавка $\text{m}$ и плотность пробки $\rho_п$:

$\rho_п = \frac{m}{V} \implies V = \frac{m}{\rho_п}$

Подставим это выражение в формулу для $\text{Q}$:

$Q = \left( \rho_в \frac{m}{\rho_п} - m \right)gh$

$Q = mgh \left( \frac{\rho_в}{\rho_п} - 1 \right)$

где $\rho_в$ — плотность воды, а $\rho_п$ — плотность пробки.

Ответ: $Q = mgh \left( \frac{\rho_в}{\rho_п} - 1 \right)$, где $\rho_в$ — плотность воды, $\rho_п$ — плотность пробки.