Номер 6.30, страница 37 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.30, страница 37.

Условие.

6.30. Тело массой $m = 3 \text{ кг}$ и объемом $V = 2 \text{ дм}^3$ находится в воде на глубине $h = 3 \text{ м}$. Какую работу необходимо совершить при медленном плавном подъеме тела на высоту $H = 5 \text{ м}$ над поверхностью воды? Равна ли эта работа изменению потенциальной энергии тела?

Решение.

Решение 2.

Какую работу необходимо совершить при медленном плавном подъеме тела на высоту H = 5 м над поверхностью воды?

Дано:

Масса тела, $m = 3$ кг
Объем тела, $V = 2$ дм³
Начальная глубина, $h = 3$ м
Конечная высота над водой, $H = 5$ м
Плотность воды, $\rho_в \approx 1000$ кг/м³
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

$V = 2 \text{ дм}^3 = 2 \cdot (10^{-1} \text{ м})^3 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

Работу $\text{A}$

Решение:

Работу по подъему тела можно разделить на два этапа: подъем в воде до поверхности ($A_1$) и подъем в воздухе над поверхностью ($A_2$). Общая работа будет их суммой: $A = A_1 + A_2$.

1. На первом этапе (в воде) на тело действует сила тяжести $F_т = mg$ (вниз), выталкивающая сила Архимеда $F_A = \rho_в g V$ (вверх) и прикладываемая внешняя сила $F_1$ (вверх). Поскольку подъем медленный (равномерный), равнодействующая сил равна нулю. Отсюда, прикладываемая сила $F_1$ равна разности силы тяжести и силы Архимеда:

$F_1 = F_т - F_A = mg - \rho_в g V$

Рассчитаем силы:

$F_т = 3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 30 \text{ Н}$

$F_A = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 20 \text{ Н}$

$F_1 = 30 \text{ Н} - 20 \text{ Н} = 10 \text{ Н}$

Работа на первом этапе совершается на пути $h=3$ м:

$A_1 = F_1 \cdot h = 10 \text{ Н} \cdot 3 \text{ м} = 30 \text{ Дж}$

2. На втором этапе (в воздухе) выталкивающей силой можно пренебречь. Прикладываемая сила $F_2$ должна уравновешивать только силу тяжести:

$F_2 = F_т = 30 \text{ Н}$

Работа на втором этапе совершается на пути $H=5$ м:

$A_2 = F_2 \cdot H = 30 \text{ Н} \cdot 5 \text{ м} = 150 \text{ Дж}$

3. Общая работа равна сумме работ на двух этапах:

$A = A_1 + A_2 = 30 \text{ Дж} + 150 \text{ Дж} = 180 \text{ Дж}$

Ответ: необходимо совершить работу 180 Дж.

Равна ли эта работа изменению потенциальной энергии тела?

Решение:

Изменение потенциальной энергии $\Delta E_п$ определяется только начальным и конечным положением тела в поле силы тяжести. Выберем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии поверхность воды.

Начальная высота тела $h_{нач} = -h = -3$ м. Начальная потенциальная энергия $E_{п_{нач}} = mg(-h)$.

Конечная высота тела $h_{кон} = H = 5$ м. Конечная потенциальная энергия $E_{п_{кон}} = mgH$.

Изменение потенциальной энергии:

$\Delta E_п = E_{п_{кон}} - E_{п_{нач}} = mgH - mg(-h) = mg(H+h)$

Рассчитаем это значение:

$\Delta E_п = 3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (5 \text{ м} + 3 \text{ м}) = 30 \text{ Н} \cdot 8 \text{ м} = 240 \text{ Дж}$

Сравним полученные значения: совершенная работа $A = 180 \text{ Дж}$, а изменение потенциальной энергии $\Delta E_п = 240 \text{ Дж}$. Эти величины не равны.

Работа, которую необходимо совершить, не равна изменению потенциальной энергии, так как при подъеме тела в воде, кроме силы тяжести, работа совершается также выталкивающей силой Архимеда. Эта сила направлена вверх, то есть сонаправлена с перемещением, и совершает положительную работу $A_A = F_A \cdot h = 20 \text{ Н} \cdot 3 \text{ м} = 60 \text{ Дж}$. Эта работа "помогает" поднимать тело, уменьшая необходимую работу внешней силы. Совершенная работа $\text{A}$ связана с изменением потенциальной энергии $\Delta E_п$ через теорему об изменении механической энергии: работа внешней неконсервативной силы (в данном случае силы Архимеда) и внешней силы подъема равна изменению полной механической энергии. Так как подъем медленный, изменение кинетической энергии равно нулю, и $A + A_A = \Delta E_п$, откуда $A = \Delta E_п - A_A$.

Проверка: $180 \text{ Дж} = 240 \text{ Дж} - 60 \text{ Дж}$. Равенство верное.

Ответ: нет, совершенная работа (180 Дж) не равна изменению потенциальной энергии тела (240 Дж). Работа меньше изменения потенциальной энергии на величину работы, совершенной выталкивающей силой (60 Дж).