Номер 7.4, страница 37 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.4, страница 37.

Условие.

7.4*. Как-то, гуляя, я невзначай забрался в горы. Мне захотелось узнать, на какой я высоте. К счастью, в моей дорожной сумке случайно оказались маятниковые часы. Держа их в совершенно неподвижной правой руке, я начал сравнивать их ход с показаниями электронных часов на левой руке. За час маятниковые часы отстали от электронных на пять секунд, и я сразу понял, на какой высоте нахожусь. Попробуйте и вы вычислить эту высоту. Замечу: маятник моих часов сделан из такого удивительного сплава, что длина его от температуры не зависит, а мои электронные часы, как известно, самые точные в мире. Радиус Земли примите равным $R = 6400$ км.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$t_э$ = 1 час
$\Delta t$ = 5 с
$\text{R}$ = 6400 км

Перевод в систему СИ:
$t_э = 1 \cdot 3600 \text{ с} = 3600 \text{ с}$
$R = 6400 \cdot 1000 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

Ход маятниковых часов зависит от периода колебаний маятника, который определяется формулой: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $\text{l}$ – длина маятника, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

В условии сказано, что длина маятника $\text{l}$ не меняется. Однако ускорение свободного падения $\text{g}$ зависит от высоты над поверхностью Земли.

На поверхности Земли (будем считать, что часы были откалиброваны там) ускорение свободного падения равно $g_0 = G\frac{M}{R^2}$, где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $\text{M}$ – масса Земли, $\text{R}$ – радиус Земли. Период колебаний на поверхности Земли: $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_0}}$.

На высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли расстояние до центра планеты составляет $R+h$. Ускорение свободного падения на этой высоте: $g_h = G\frac{M}{(R+h)^2}$. Период колебаний на высоте $\text{h}$: $T_h = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_h}}$.

Найдем отношение периодов: $\frac{T_h}{T_0} = \frac{2\pi\sqrt{l/g_h}}{2\pi\sqrt{l/g_0}} = \sqrt{\frac{g_0}{g_h}} = \sqrt{\frac{G\frac{M}{R^2}}{G\frac{M}{(R+h)^2}}} = \sqrt{\frac{(R+h)^2}{R^2}} = \frac{R+h}{R} = 1 + \frac{h}{R}$.

Маятниковые часы отстали, значит, их период колебаний $T_h$ стал больше, чем калибровочный период $T_0$.

За реальное время $t_э$ (показания электронных часов) маятник совершил $\text{N}$ колебаний. Таким образом, $t_э = N \cdot T_h$.

Маятниковые часы "думают", что каждое колебание длится $T_0$, поэтому за $\text{N}$ колебаний они покажут время $t_м = N \cdot T_0$.

Из условия известно, что маятниковые часы отстали на $\Delta t = 5$ с за 1 час. Значит, время, которое они показали, равно: $t_м = t_э - \Delta t = 3600 \text{ с} - 5 \text{ с} = 3595 \text{ с}$.

Теперь свяжем отношение времен с отношением периодов: $\frac{t_э}{t_м} = \frac{N \cdot T_h}{N \cdot T_0} = \frac{T_h}{T_0}$.

Приравнивая два полученных выражения для отношения периодов, получаем: $\frac{t_э}{t_м} = \frac{R+h}{R}$.

Выразим из этого уравнения высоту $\text{h}$: $1 + \frac{h}{R} = \frac{t_э}{t_м}$
$\frac{h}{R} = \frac{t_э}{t_м} - 1 = \frac{t_э - t_м}{t_м} = \frac{\Delta t}{t_м}$
$h = R \cdot \frac{\Delta t}{t_м}$.

Подставим числовые значения: $h = 6400 \text{ км} \cdot \frac{5}{3595} \approx 6400 \cdot 0.0013908 \approx 8.901 \text{ км}$.

Округлим результат до десятых.

Ответ: Высота, на которой находился наблюдатель, составляет приблизительно 8.9 км.