Номер 7.8, страница 38 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.8, страница 38.

Условие.

7.8*. В кабине лифта, находящегося на верхнем этаже небоскреба, совершает малые колебания подвешенный на нити шарик. Нить привязана к гвоздю, вбитому в стену кабины. Трос лифта обрывается, и лифт начинает падать. Опишите движение шарика относительно лифта на протяжении всего падения. Учтите при этом, что на лифт действует сила сопротивления воздуха, зависящая от скорости падения.

Решение.

Решение 2.

Решение

Движение шарика относительно лифта можно условно разделить на три последовательных этапа, которые обусловлены изменением ускорения лифта из-за действия силы сопротивления воздуха.

1. Начальный этап падения (состояние невесомости)

Сразу после обрыва троса и лифт, и шарик внутри него начинают свободно падать с одинаковым ускорением, равным ускорению свободного падения $\text{g}$. В этот начальный период, пока скорость мала и силой сопротивления воздуха можно пренебречь, система отсчета, связанная с лифтом, является неинерциальной. В этой системе отсчета сила тяжести, действующая на шарик ($m\vec{g}$), полностью компенсируется силой инерции ($\vec{F}_{ин} = -m\vec{a}_{лифт} = -m\vec{g}$). Таким образом, внутри лифта наступает состояние невесомости.

В результате сила натяжения нити обращается в ноль ($T=0$), и нить провисает. Колебания шарика прекращаются. Относительно кабины лифта шарик будет двигаться прямолинейно и равномерно с той скоростью, которую он имел в момент обрыва троса. Это движение будет продолжаться, пока шарик не столкнется с какой-либо из стенок кабины, или пока не станет существенным влияние сопротивления воздуха на лифт.

2. Этап падения с ускорением, уменьшающимся из-за сопротивления воздуха

По мере увеличения скорости падения лифта, сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$, действующая на него, возрастает. Эта сила направлена вертикально вверх. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения для лифта массой $\text{M}$ имеет вид: $Ma_{лифт} = Mg - F_{сопр}$. Отсюда его ускорение $a_{лифт} = g - F_{сопр}/M$. Очевидно, что теперь ускорение лифта меньше $\text{g}$.

В системе отсчета лифта на шарик действует "эффективная" сила тяжести, обусловленная разницей между реальной силой тяжести и силой инерции. Эффективное ускорение $g_{эфф}$ будет направлено вверх, а его величина составит:

$g_{эфф} = g - a_{лифт} = g - (g - F_{сопр}/M) = F_{сопр}/M$

Это означает, что для наблюдателя в лифте появится "верхнее" притяжение, и шарик будет притягиваться к потолку. Нить снова натянется, и шарик начнет совершать колебания, но уже вокруг нового положения равновесия — вертикального положения над точкой подвеса. Он будет вести себя как "перевернутый" маятник. Поскольку скорость лифта, а следовательно и $F_{сопр}$, продолжают расти, величина $g_{эфф}$ также будет увеличиваться, что приведет к изменению периода этих "перевернутых" колебаний.

3. Этап падения с постоянной (терминальной) скоростью

Падение с ускорением будет продолжаться до тех пор, пока сила сопротивления воздуха не уравновесит силу тяжести лифта: $F_{сопр} = Mg$. В этот момент ускорение лифта станет равным нулю ($a_{лифт} = 0$), и он продолжит падение с постоянной максимальной (терминальной) скоростью.

Поскольку лифт теперь движется равномерно и прямолинейно, связанная с ним система отсчета снова становится инерциальной. В этой системе на шарик действуют только реальные силы: сила тяжести $m\vec{g}$ и сила натяжения нити. Сила инерции исчезает. Физическая ситуация становится полностью аналогичной исходной (маятник в неподвижной кабине).

Таким образом, шарик вернется к своему обычному поведению: он будет совершать малые колебания как математический маятник вокруг нижнего положения равновесия. Период этих колебаний станет постоянным и будет определяться классической формулой $T = 2\pi\sqrt{l/g}$, где $\text{l}$ — длина нити.

Ответ: Движение шарика относительно лифта пройдет три стадии. Сначала, в состоянии невесомости, он будет двигаться прямолинейно и равномерно. Затем, по мере увеличения скорости и силы сопротивления воздуха, он начнет колебаться как "перевернутый" маятник относительно потолка кабины. Наконец, когда лифт достигнет постоянной терминальной скорости, шарик вернется к обычным колебаниям вокруг нижнего положения равновесия.